Ekonomia matematyczna

Wykład 5: Liniowe równania różniczkowe n-tego rzędu

Liniowe równania różniczkowe n-tego rzędu

Postać równania różniczkowego n-tego rzędu.

Liniowe równanie różniczkowe n-tego rzędu jest postaci

(x^((n)))+(Subscript[a, 1])(t)(x^((n-1)))+…+(Subscript[a, n-1])(t)(OverDot[x])+(Subscript[a, n])(t) x=0

Generalnie nie można znaleźć analitycznego rozwiązania równania powyższej postaci ale można bardzo dokładnie powiedzieć jakiej postaci będzie i jak będzie się zachowywało.

Kombinacja liniowa rozwiązań.

Niech (Subscript[u, j]), j=1,…,n będą rozwiązaniami równania (). Definiujemy nową funkcję jako kombinację liniową rozwiązań, tj.

x=(∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j]).

Dla tak zdefiniowanej funkcji zachodzi

(x^((k)))=((d^k)/(d(t^k)))(∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j])=(∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])((d^k)/(d(t^k)))(Subscript[u, j])=(∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j]^((k))).

Wstawiając zdefiniowaną powyżej kombinację liniową do równania  () otrzymujemy

(x^((n)))+(Subscript[a, 1])(t)(x^((n-1)))+…+(Subscript[a, n-1])(t)(OverDot[x])+(Subscript[a, n])(t) x
=((∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j]^((n))))+(Subscript[a, 1])(t)((∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j]^((n-1))))+…+(Subscript[a, n-1])(t)((∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j]^((1))))+(Subscript[a, n])(t) ((∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j]))
=(Subscript[K, 1])(∑_(k=0)^n)(Subscript[a, n-k])(t)(Subscript[u, 1]^((k)))+(Subscript[K, 2])(∑_(k=0)^n)(Subscript[a, n-k])(t)(Subscript[u, 2]^((k)))+…+(Subscript[K, n])(∑_(k=0)^n)(Subscript[a, n-k])(t)(Subscript[u, n]^((k)))
=(Subscript[K, 1])0 + (Subscript[K, 2])0+…+(Subscript[K, n])0=0.

Pokazaliśmy zatem, że kombinacja liniowa rozwiązań równania  () jest rozwiązaniem tego równania.

Definicja (Funkcje liniowo niezależne).

Powiemy, że funkcje (Subscript[u, 1])(t), …,(Subscript[u, n])(t) są liniowo zależne jeżeli istnieją stałe (Subscript[C, 1]), …,(Subscript[C, n]) nie wszystkie równe 0 takie, że

(Subscript[C, 1])(Subscript[u, 1])(t)+(Subscript[C, 2])(Subscript[u, 2])(t)+…+(Subscript[C, n])(Subscript[u, n])(t)≡0.

Powiemy, że funkcje są liniowo niezależne jeżeli nie są liniowo zależne.

Przykład (Funkcje liniowo zależne).

Funkcje 1, (sin^2) i (cos^2) są liniowo zależne bo dla dowolnego t zachodzi

-1·1+1·(sin^2)(t)+1·(cos^2)(t)≡0

a więc istnieją stałe -1, 1, 1, nie wszystkie równe 0, dla których warunek z definicji zależności jest spełniony.

Postać równania różniczkowego n-tego rzędu niejednorodnego.

Liniowe równanie różniczkowe n-tego rzędu jest postaci

(x^((n)))+(Subscript[a, 1])(t)(x^((n-1)))+…+(Subscript[a, n-1])(t)(OverDot[x])+(Subscript[a, n])(t) x=f(t)

Generalnie nie można znaleźć analitycznego rozwiązania równania powyższej postaci ale można bardzo dokładnie powiedzieć jakiej postaci będzie i jak będzie się zachowywało.

Twierdzenie (Postać rozwiązania).

(a) Równanie różniczkowe () ma rozwiązanie ogólne postaci

x=(∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j]),

gdzie funkcje (Subscript[u, j]), j=1,…,n są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ().

(b) Równanie różniczkowe () ma rozwiązanie ogólne postaci

x=(∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j])+(SuperStar[u]),

gdzie (∑_(j=1)^n)(Subscript[K, j])(Subscript[u, j]) jest rozwiązaniem ogólnym równania () a (SuperStar[u]) jest dowolnym niezależnym rozwiązaniem równania  ().

Twierdzenie (Istnienie rozwiązania).

Niech funkcje (Subscript[a, j])(t), j=1,…,n oraz f(t) są ciągłe na ℝ. Niech (OverBar[x]),((OverBar[x])^((1))),…,((OverBar[x])^((n-1))) oraz (OverBar[t]) będą dowolnymi liczbami. Wtedy równanie () ma dokładnie jedno rozwiązanie określone na (-∞,∞) spełniające warunek początkowy postaci

x((OverBar[t]))=(OverBar[x]), (OverDot[x])((OverBar[t]))=((OverBar[x])^((1))), …,(x^((n-1)))((OverBar[t]))=((OverBar[x])^((n-1))).

Uwaga (Wniosek).

Równanie () ma dokładnie n liniowo niezależnych rozwiązań. Można to łatwo zaobserwować z powyższego twierdzenia. Warunek początkowy jest wektorem z przestrzeni (ℝ^n) a największy liniowo niezależny układ w tej przestrzeni zawiera n wektorów. Dla każdego warunku, który jest kombinacją liniową warunków początkowych z wybranego układu liniowo niezależnych warunków początkowych rozwiązanie będzie również kombinacją liniową rozwiązań uzyskanych dla warunków początkowych z liniowo niezależnego układu warunków początkowych.

Przykładowo niech dane będzie n liniowo niezależnych warunków początkowych (Subscript[(OverBar[x]), j]), j=1,…,n, gdzie

(Subscript[(OverBar[x]), j])=((Subscript[(OverBar[x]), j]),(Subscript[(OverDot[(OverBar[x])]), j]),…,(Subscript[(OverBar[x]), j]^((n-1)))).

Niech (Subscript[ϕ, j])(t) będą odpowiadającymi rozwiązaniami. Rozważamy warunek początkowy postaci

y=(∑_(j=1)^n)(Subscript[α, j])(Subscript[(OverBar[x]), j]).

Wtedy funkcja postaci

γ(t)=(∑_(j=1)^n)(Subscript[α, j])(Subscript[ϕ, j])(t)

jest (a) rozwiązaniem (jak pokazaliśmy wcześniej kombinacja liniowa rozwiązań jest rozwiązaniem) oraz (b) spełnia warunek początkowy y.

Przykład (Znajdowanie rozwiązania przy znanych rozwiązaniach bazowych / trywialne).

Chcemy znaleźć rozwiązanie ogólne następującego równania różniczkowego

(Overscript[x, ..])+(OverDot[x])-6x=0

wiedząc, że równanie to ma dwa rozwiązania (bazowe) postaci

(Subscript[u, 1])(t)=(e^(2t))   oraz   (Subscript[u, 2])(t)=(e^(-3t)).

Sprawdzenie, że powyższe funkcje są rzeczywiście rozwiązaniami rozważanego równania różniczkowego jest trywialne.

Aby pokazać, że funkcje te są liniowo niezależne rozważamy kombinację liniową rozwiązań

(Subscript[K, 1]) (e^(2t))+(Subscript[K, 2]) (e^(-3t))

Chcemy pokazać, że powyższe równanie implikuje, że obie stałe są zerowe. Mamy

(Subscript[K, 1]) (e^(2t))+(Subscript[K, 2]) (e^(-3t))=0
(Subscript[K, 1]) (e^(5t))+(Subscript[K, 2]) =0
(Subscript[K, 1]) (e^(5t))=-(Subscript[K, 2])

W powyższym równaniu prawa strona jest stała w czasie a lewa dla (Subscript[K, 1])≠0 oczwiście nie jest stała więc jeżeli równanie ma być spełnione to (Subscript[K, 1])=0 co oczywiście implikuje, że (Subscript[K, 2])=0.

Zgodnie z powyższym twierdzeniem rozwiązanie ogólne jest postaci

ϕ(t)=(Subscript[K, 1]) (e^(2t))+(Subscript[K, 2]) (e^(-3t)).

Poniżej jest kilka wykresów funkcji z powyższej rodziny.

Block[{t,x,fs,f},
fs=Flatten@Table[k2 Exp[2 t]+k Exp[-3 t],{k, -3, 3, .5},{k2,-3,3,.5}];
Plot[fs,{t, -3, 3}]
]

Przykład (Znajdowanie rozwiązania przy znanych rozwiązaniach bazowych / mniej trywialne).

Chcemy znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego postaci

(Overscript[x, ..])+t (OverDot[x])=0

wiedząc, że równanie to ma dwa rozwiązania (bazowe) postaci

(Subscript[x, 1])(t)=1   oraz   (Subscript[x, 2])(t)=(Sqrt[(π/2)]) Erf((t/(Sqrt[2])))

gdzie funkcja Erf() jest tzw. funkcją błędu (error function) i jest postaci

Erf(z)=(2/(Sqrt[π]))(∫_0^z)(e^(-(τ^2)))dτ.

Sprawdzenie, że pierwsza funkcja jest rozwiązaniem jest trywialne. Sprawdzimy, że druga funkcja jest rozwiązaniem równania. Obliczając pochodne otrzymujemy

(d/(dt))(Subscript[x, 2])(t)=(d/(dt))(Sqrt[(π/2)]) Erf((t/(Sqrt[2])))=(e^(-((t^2)/2)))
((d^2)/(d(t^2)))(Subscript[x, 2])(t)=((d^2)/(d(t^2)))(Sqrt[(π/2)]) Erf((t/(Sqrt[2])))=-(e^(-((t^2)/2))) t

Wstawiając powyższe obliczenia do równania otrzymujemy

-(e^(-((t^2)/2))) t +t (e^(-((t^2)/2)))=0

a więc rzeczywiście jest to rozwiązanie.

Warto również zauważyć, że oba rozwiązania są oczywiście liniowo niezależne. Zgodnie z twierdzeniem rozwiązanie ogólne rozpatrywanego równania różniczkowego jest kombinacją liniową obu rozwiązań i jest postaci

ϕ(t)=(Subscript[C, 1])+(Subscript[C, 2]) (Sqrt[(π/2)]) Erf((t/(Sqrt[2])))=(Subscript[C, 1])+(Subscript[C, 2]) (Sqrt[2])(∫_0^(t/(Sqrt[2])))(e^(-(s^2)))ds

Przykładowe wykresy są poniżej.

Block[{sol,x,t,sol2,fs,k},
sol=DSolve[  x''[t]+ t x'[t]==0,x[t],t];
sol2=x[t]/.sol[[1]];
fs=Table[sol2/.{C[1]->1,C[2]->k},{k,-1,1,.1}];
Plot[fs,{t,-3,3}]
]

Liniowe równania n-tego rzędu o stałych współczynnikach

Postać liniowego równania n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

Przez liniowe równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach (jednorodne) rozumiemy równanie postaci

(x^((n)))+(Subscript[a, 1])(x^((n-1)))+…+(Subscript[a, n-1])(OverDot[x])+(Subscript[a, n])x=0.

Jak wygląda rozwiązanie ogólne?

Aby znaleźć postać rozwiązania ogólnego równania () rozważamy funkcję postaci

x(t)=(e^(r t)), r∈ℂ.

Oczywiście mamy

(x^((k)))=(r^k)(e^(r t)).

Wstawiając powyższą funkcję do równania () otrzymujemy

(r^n) (e^(r t))+(Subscript[a, 1])(r^(n-1))(e^(r t))+…+(Subscript[a, n-1])r (e^(r t))+(Subscript[a, n])(e^(r t))=
=((r^n) +(Subscript[a, 1])(r^(n-1))+…+(Subscript[a, n-1])r +(Subscript[a, n]))(e^(r t))=0

Ponieważ (e^(r t))≠0 dla dowolnego r zatem musi zachodzi

((r^n) +(Subscript[a, 1])(r^(n-1))+…+(Subscript[a, n-1])r +(Subscript[a, n]))=0.

Wielomian po lewej stronie powyższego równania nazywamy wielomianem charakterystycznym i oznaczamy przez p(r). Jeżeli r jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, tj. p(r)=0 to odpowiadająca tej liczbie funkcja postaci (e^(r t)) jest oczywiście rozwiązaniem równania ().

Wielomian charakterystyczny ma oczywiście dokładnie n pierwiastków licząc z krotnościami. Można więc zbudować dokładnie n liniowo niezależnych rozwiązań, z których zgodnie z wcześniejszymi twierdzeniami można zbudować rozwiązanie ogólne.

Pozostają dwa problemy: (a) co zrobić jeżeli pierwiastek ma krotność algebraiczną większą niż 1 oraz (b) co zrobić jeżeli otrzymujemy pierwiastki zespolone (oczywiście w zakresie ekonomii nie chcemy rozważać rozwiązań zespolonych).

Co zrobić jeżeli krotność pierwiastka jest większa niż 1?

Niech r będzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego o krotności algebraicznej s>1. Wtedy z pierwiastkiem takim zwiążemy dokładnie s liniowo niezależnych rozwiązań równania () postaci

(e^(r t)), t (e^(r t)),…,(t^(s-1))(e^(r t)).

Co zrobić jeżeli otrzymujemy pierwiastki zespolone?

W przypadku pierwiastków zespolonych wiemy, że muszą one występować w parach r i (OverBar[r]). Przyjmijmy, że

r=α+i β   oraz   (OverBar[r])=α-i β

są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego. W takim razie funkcja

x(t)=(Subscript[C, 1])(e^(r t))+(Subscript[C, 2])(e^((OverBar[r]) t))=(Subscript[C, 1])(e^((α+i β)t))+(Subscript[C, 2])(e^((α-i β) t))

jest rozwiązaniem rówania. Aby wydzielić z niej część rzeczywistą przyjmujemy

(Subscript[C, 1])=a+i b   oraz   (Subscript[C, 2])=(Subscript[(OverBar[C]), 1])=a-i b.

Przy takich oznaczenia mamy

x(t)=(Subscript[C, 1])(e^((α+i β)t))+(Subscript[C, 2])(e^((α-i β) t))
=(a+i b) (e^((α+i β)t))+(a-i b) (e^((α-i β) t))
=(a+i b) (e^(α t+i β t))+(a-i b) (e^(α t-i β t))
=(e^(α t))((a+i b) (e^(i β t))+(a-i b) (e^(-i β t)))
=(e^(α t))((a+i b) (cos(β t)+i sin(β t))+(a-i b) (cos(β t)-i sin(β t))
wymnażając i porządkując wyrazy
=(e^(α t))(2 a cos(β t)+(-2 b) sin(β t))
=(e^(α t))((Subscript[K, 1]) cos(β t)+(Subscript[K, 2]) sin(β t))=(Subscript[K, 1]) (e^(α t))cos(β t)+(Subscript[K, 2]) (e^(α t))sin(β t).

Jak widzimy, z parą pierwiastków zespolonych możemy związać dwa rozwiązania liniowo niezależne postaci

(e^(α t))cos(β t)   oraz   (e^(α t))sin(β t).

Przykład (Różne pierwiastki rzeczywiste).

Rozwiązujemy równanie różniczkowe postaci

(Overscript[x, ..])+(OverDot[x])-6 x=0.

Wielomian charakterystyczny jest postaci

p(r)=(r^2)+r-6=(r-2) (r+3).

Mamy dwa pierwiastkie rzeczywiste o krotności algebraicznej 1

r=2   ∨   r=-3.

Z pierwiastkami tymi wiążemy rozwiązania bazowe postaci (odpowiednio)

(Subscript[x, 1])(t)=(e^(2 t))   oraz   (Subscript[x, 2])(t)=(e^(-3 t)).

Zgodnie z poprzednimi twierdzeniami rozwiązanie ogólne jest postaci

x(t)=(Subscript[C, 1]) (e^(2 t))+(Subscript[C, 2]) (e^(-3 t)).

Przykład (Pierwiastki rzeczywiste o większej krotności algebraicznej).

Rozwiązujemy równanie różniczkowe postaci

(Overscript[x, ..])-6(OverDot[x])+9 x=0.

Wielomian charakterystyczny jest postaci

p(r)=(r^2)-6r+9=(((r-3))^2)

Mamy jeden pierwiastek rzeczywisty o krotności algebraicznej 2

r=3.

Z pierwiastkami tymi wiążemy rozwiązania bazowe postaci (odpowiednio)

(Subscript[x, 1])(t)=(e^(3 t))   oraz   (Subscript[x, 2])(t)=t (e^(3 t)).

Zgodnie z poprzednimi twierdzeniami rozwiązanie ogólne jest postaci

x(t)=(Subscript[C, 1]) (e^(3 t))+(Subscript[C, 2]) t (e^(3 t)).

Przykład (Pierwiastki zespolone).

Rozwiązujemy równanie różniczkowe postaci

(Overscript[x, ..])-2(OverDot[x])+5 x=0.

Wielomian charakterystyczny jest postaci

p(r)=(r^2)-2r+5=(r-(1+2 i)) (r-(1-2 i))

Mamy dwa pierwiastki zespolone (para pierwiastków sprzężonych)

r=1+2 i   ∨   r=1-2i

Z pierwiastkami tymi wiążemy rozwiązania bazowe postaci (odpowiednio)

(Subscript[x, 1])(t)=(e^t) cos(2 t)   oraz   (Subscript[x, 2])(t)=(e^t) sin(2 t).

Zgodnie z poprzednimi twierdzeniami rozwiązanie ogólne jest postaci

x(t)=(Subscript[C, 1]) (e^t) cos(2 t)+(Subscript[C, 2]) (e^t) sin(2 t)=(e^t)((Subscript[C, 1]) cos(2 t)+(Subscript[C, 2]) sin(2 t)).

Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach niejednorodne.

Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach niejednorodne jest postaci

(x^((n)))+(Subscript[a, 1])(x^((n-1)))+…+(Subscript[a, n-1])(OverDot[x])+(Subscript[a, n])x=f(t).

Zgodnie z powyższymie twierdzeniami rozwiązanie ogólne tego równania jest sumą rozwiązania równania jednorodnego (które rozwiązujemy tak jak powyżej) oraz rozwiązania szczególnego (tzw. całki szczególnej) równania niejednorodnego. Rozwiązanie to dla częściej spotykanych typów funkcji f można znaleźć metodą nieoznaczonych współczynników. W tablicy poniżej są podane typowe funkcje f.

({{"Funkcja \!\(\*Cell[\"\"]\)\!\(\*Cell[\"f\"]\)", "Postać poszukiwanej funkcji"}, {"wielomian \!\(\*Cell[\"n\"]\)-tego stopnia", "wielomian tego samego stopnia"}, {"\!\(\*Cell[\"α sin(r t)+β cos(r t)\"]\)", "\!\(\*Cell[\"a sin(r t)+b cos(r t)\"]\), gdzie parametry \!\(\*Cell[\"a\"]\) i \!\(\*Cell[\"b\"]\) są nieznane"}, {"\!\(\*Cell[TextData[{\n\"α \",\nCell[BoxData[\nFormBox[\nSuperscriptBox[\"e\", \nRowBox[{\"β\", \" \", \"t\"}]], \n   TraditionalForm]],\nFormatType->\"TraditionalForm\"]\n}]]\)", "\!\(\*Cell[TextData[{\n\"a \",\nCell[BoxData[\nFormBox[\nSuperscriptBox[\"e\", \nRowBox[{\"β\", \" \", \"t\"}]], \n   TraditionalForm]],\nFormatType->\"TraditionalForm\"]\n}]]\), gdzie parametr \!\(\*Cell[\"a\"]\) nie jest znany\!\(\*Cell[\"\"]\)\!\(\*Cell[\"\"]\)"}})

Oczywiście dowolna kombinacja liniowa powyższych funkcji jest poszukiwana jako kombinacja liniowa rodzin funkcji podanych w prawej kolumnie.

Przykład.

Rozwiązujemy równanie różniczkowe postaci

(Overscript[x, ..])+x=2t+1.

W pierwszej koleności rozwiązujemy równanie jednorodne postaci

(Overscript[x, ..])+x=0.

Wielomian charakterystyczny jest tutaj postaci

p(r)=(r^2)+1

skąd mamy parę pierwiastków sprzężonych r=i lub r=-i. Zgodnie z poprzednimi twierdzeniami rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaci

x(t)=(Subscript[C, 1])cos(t)+(Subscript[C, 2])sin(t).

Aby znaleźć rozwiązanie równania niejednorodnego poszukujemy całki szczególnej w postaci u(t) = a t + b. Wstawiamy funkcję u do równania niejednorodnego otrzymując

0+(a t+b)=2t+1.

Aby równanie to było prawdziwe dla dowolnego t współczynniki przy odpowiednich potęgach t muszą być sobie równe skąd otrzymujemy układ równań

a=2
b=1.

Zatem rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest postaci

x(t)=(Subscript[C, 1])cos(t)+(Subscript[C, 2])sin(t)+2t+1.

Stabilność rozwiązania

Uwaga. Stabilność rozwiązania jest szczególnym przypadkiem stabilności równowagi i zazwyczaj nie wydziela się tego pojęcia. W ekonomii pojawia się tego typu sformułowanie i dlatego zostanie tutaj przedstawione. Pojecie to dotyczy tylko i wyłącznie równania jednorodnego!

Definicja (Stabilność rozwiązania).

Powiemy, że rozwiązanie równania () jest stabilne jeżeli

(lim_(t->∞)) x(t)=0.

Twierdzenie (Stabilność rozwiązania).

(a) Jeżeli dla każdego pierwiastka r wielomianu charakterystycznego p(r) równania () zachodzi Re(r)<0 to rozwiązanie równania () jest stabilne.

(b) Jeżeli istnieje pierwiastek r równania charakterystycznego p(r) równania (), dla którego zachodzi Re(r)>0 to rozwiązanie nie jest stabilne.

Uwaga. Warto zwrócić uwagę, że powyższe twierdzenie jest trywialne — proszę jeszcze raz spojrzeć na postać rozwiązania!

Zamiana równania n-tego rzędu na układ równań pierwszego rzędu

Procedura. Bardzo często zamiast badać pojedynczego równania n-tego rzędu wygodniej jest badać układ równań 1-szego rzędu. Typowa procedura zamiany jest następująca. Rozważamy równanie postaci

(x^((n)))+(Subscript[a, 1])(x^((n-1)))+…+(Subscript[a, n-1])(OverDot[x])+(Subscript[a, n])x=0.

Dokonujemy następujących “nazwań”

(Subscript[y, 1])=x
(Subscript[y, 2])=(OverDot[x])
(Subscript[y, n-1])=(x^((n-2)))
(Subscript[y, n])=(x^((n-1)))

W sposób oczywisty otrzymujemy następujący układ równań

(Subscript[(OverDot[y]), 1])=(Subscript[y, 2])
(Subscript[(OverDot[y]), 2])=(Subscript[y, 3])
…
(Subscript[(OverDot[y]), n-1])=(Subscript[y, n])
(Subscript[(OverDot[y]), n])=-(Subscript[a, 1])(Subscript[y, n])-(Subscript[a, 2])(Subscript[y, n-1])-…-(Subscript[a, n])(Subscript[y, 1]).

Oczywiście możemy zapisać to w postaci macierzowej otrzymując

(OverDot[y])=(({{0, 1, 0, …, 0}, {0, 0, 1,  , 0}, {⋮,  ,  , ⋱,  }, {-(Subscript[a, 1]), -(Subscript[a, 2]), …, …, -(Subscript[a, n])}}))y.