Ekonomia matematyczna

Wykład 1: Materiały dodatkowe

Elementy algebry

Liczby zespolone

Liczba zespolona z∈ℂ jest postaci

z=a+i b

gdzie a,b∈ℝ oraz (i^2)=-1.

Działania dodawania, odejmowania, mnożenia są standardowe. Dla liczb zespolonych określa się działanie sprzężenia

(OverBar[z])=(OverBar[a+ib])=a-b i

Dla dowolnej liczby zespolonej z=a +i b zachodzi

(OverBar[z]) z=((OverBar[a+ib]))(a+ib)=(a-ib)(a+ib)=(a^2)+aib-iba-(i^2)(b^2)=(a^2)+(b^2)∈(SubPlus[ℝ])

Wartość (Sqrt[(a^2)+(b^2)]) nazywa się modułem liczby zespolonej i oznacza przez |z|.

Mając zdefiniowany moduł liczby zespolonej określenie dzielenia przez liczbę zespoloną jest proste

(z/w)=((z(OverBar[w]))/(w(OverBar[w])))=(1/(|w((|)^2)))z(OverBar[w])

Funkcję (e^z) definiuje się przy pomocy szeregu potęgowego

(e^z)=(∑_(k=0)^∞)((z^k)/(k!))

Podobnie możemy określić funkcje sin(z) i cos(z).

Z porównania tych szeregów otrzymujemy wzór

(e^(iz))=cos(z)+isin(z)

W szczególności dla t∈ℝ mamy wzór postaci

(e^(it))=cos(t)+isin(t)

Elementy algebry liniowej

Zakładana wiedza z zakresu algebry liniowej: przestrzeń liniowa, wektory i operacje na wektorach, liniowa niezależność wektorów, baza, macierze i algebra macierzy, oznaczoność form kwadratowych, układy równań liniowych.

Współrzędne wektora w bazie. Niech v∈(ℝ^N) i niech {(Subscript[w, 1]),…,(Subscript[w, N])} będzie bazą przestrzeni (ℝ^N). Współrzędnymi wektora v w bazie {(Subscript[w, 1]),…,(Subscript[w, N])} nazywamy skalary (Subscript[v, n]), n=1,…,N spełniające

v=(∑_(n=1)^N)(Subscript[v, n])(Subscript[w, n]).

Przykład. Rozważamy przestrzeń (ℝ^2) oraz dwie bazy: kanoniczną

e={(({{1}, {0}})),(({{0}, {1}}))}

oraz bazę w postaci

w={(({{1}, {1}})),(({{0}, {1}}))}.

Wektor v=(((1,2))^T) (w bazie kanonicznej) ma postać (((1,1))^T) w bazie w bo

(((({{1}, {1}})))^w)=1 (Subscript[w, 1])+1 (Subscript[w, 2])=1 (({{1}, {1}}))+1 (({{0}, {1}}))=(((({{1}, {2}})))^e).

Macierz zamiany bazy. Rozważamy przestrzeń (ℝ^N). Niech dana będzie baza kanoniczna e={(Subscript[e, 1]),…,(Subscript[e, N])} oraz baza w={(Subscript[w, 1]),…,(Subscript[w, N])}. Macierz zamiany bazy z bazy kanonicznej na bazę w jest postaci

T=(({{(Subscript[w, 1]), (Subscript[w, 2]), ⋯, (Subscript[w, N])}}))=(({{(Subscript[w, 11]), ⋯, (Subscript[w, N 1])}, {⋮, ⋱, ⋮}, {(Subscript[w, 1N]), ⋯, (Subscript[w, N N])}})).

Niech wektor (v^e) będzie zapisany w bazie kanonicznej a (v^w) w bazie w. Wtedy zachodzi

(v^e)=T (v^w).

Innymi słowy macierz T “tłumaczy” wektor (v^w) zapisany w bazie w na wektor (v^e) zapisany w bazie kanonicznej. Analogicznie, macierz (T^(-1)) działa w odwrotną stronę.

Przykład (zamiana bazy, wektor). Rozważamy przestrzeń (ℝ^2) oraz bazę kanoniczną i bazę

w={(({{1}, {1}})),(({{0}, {1}}))}.

Wektor w bazie kanoniczne (v^e)=(({{1, 2}})) ma współrzędne (v^w)=(({{1, 1}})) w bazie w. Macierz przejścia T jest postaci

T=(({{1, 0}, {1, 1}})).

Zachodzi

(v^e)=T (v^w)=(({{1, 0}, {1, 1}})) (({{1}, {1}}))=(({{1}, {2}})).

Macierz odwrotna (T^(-1)) jest postaci

(T^(-1))=(({{1, 0}, {-1, 1}})).

Zachodzi

(v^w)=(T^(-1))(v^e)=(({{1, 0}, {-1, 1}}))(({{1}, {2}}))=(({{1}, {1}})).

Przykład (zamiana bazy, macierz odwzorowania liniowego).

Rozważamy przestrzeń (ℝ^2) oraz przekształcenie liniowe A(v) dane jako

A(v)=A v=(({{1, 3}, {2, -1}})) (({{(Subscript[v, 1])}, {(Subscript[v, 2])}})).

Dodatkowo rozważamy bazę w postaci

w={(({{1}, {1}})),(({{0}, {1}}))}.

Macierze przejścia są postaci

T=(({{1, 0}, {1, 1}})) oraz (T^(-1))=(({{1, 0}, {-1, 1}})).

Macierz przekształcenia A w bazie w jest postaci

(Subscript[A, w w])=(T^(-1))A T=(({{1, 0}, {-1, 1}}))(({{1, 3}, {2, -1}}))(({{1, 0}, {1, 1}}))=(({{4, 3}, {-3, -4}})).

Wartości własne, wektory własne. Zagadnienie własne jest postaci

A v=λ v,

gdzie λ∈ℂ i v≠0. Skalar λ nazywamy wartością własną a wektor v wektorem własnym związanym z wartością własną λ. Zbiór wszystkich wartości własnych macierzy A nazywamy spektrum i oznaczamy przez sp(A).

Znajdowanie wartości własnych sprowadza się do następującej procedury.

({{A v=λ v,}, {({{A v -λ v=0,}, {(A-λ I)v=0.}})}})

Poniważ z założenia wektor v jest niezerowy więc macierz A-λ I musi być osobliwa a więc musi zachodzić

det (A-λ I)=0.

Wyznacznik det(A-λ I) jest wielomianem i nazywa się wielomianem charakterystycznym. Wszystkie jego pierwiastki są wartościami własnymi. Wartości własne są wyznaczone jednoznacznie. Krotność algebraiczna pierwiastka wielomianu charakterystycznego nazywa się krotnością algebraiczną wartości własnej.

Mając wyznaczoną wartość własną λ jesteśmy w stanie wyznaczyć wektory własne rozwiązując układ równań

(A-λ I)v=0.

Wektory własne nie są wyznaczone jednoznacznie. Wymiar przestrzeni rozwiązań powyższego układu równań liniowych nazywa się krotnością geometryczną wartości własnej λ. Krotność geometryczna wynosi so najmniej 1 i jest co najwyżej równa krotności algebraicznej.

Przykład (wartości własne, wektory własne, diagonalizacja). Rozważmy macierz

A=(({{3, -1}, {-1, 3}})).

Wielomian charakterystyczny jest postaci

w(λ)=8-6 λ+(λ^2)=(-4+λ) (-2+λ)

skąd mamy dwie wartości własne sp(A)={2, 4}, każda o krotności algebraicznej 1. Ponieważ krotność geometryczna nie może być mniejsza niż 1 oraz większa niż krotność algebraiczna więc wiemy, że krotności geometryczne również wynoszą 1.

Wektor własny dla λ=2 obliczamy rozważając układ równań

(A-2 I)v=0.

Macierz rozszerzona tego układu równań jest postaci (sprowadzenie do postaci bazowej)

(({{1, -1, 0}, {-1, 1, 0}})) ∼ (({{1, -1, 0}})).

Rozwiązanie ogólne jest zatem postaci

({{(Subscript[v, 1])=α}, {(Subscript[v, 2])=α}})

albo w postaci wektorowej

v=α (({{1}, {1}})).

Jako wektor własny możemy przyjąć dowolny niezerowy wektor powyższej postaci. Dla prostoty wybieramy wektor v=(((({{1, 1}})))^T).

Podobnie dokonujemy obliczeń dla wartości własnej λ=4 otrzymując układ równań liniowych postaci

(A-4 I)v=0

z macierzą rozszerzoną postaci

(({{-1, -1, 0}, {-1, -1, 0}})) ∼ (({{1, 1, 0}}))

skąd rozwiązanie ogólne jest postaci

({{(Subscript[v, 1])=α}, {(Subscript[v, 2])=-α}})

lub w postaci wektorowej

v=α (({{1}, {-1}})).

Podobnie i tutaj możemy przyjąć jako wektor własny dowolny niezerowy wektor powyższej postaci ale dla prostoty przyjmujemy v=(((({{1, -1}})))^T).

Wektory własne tworzą bazę przestrzeni (ℝ^2). Macierze przejścia są postaci

T=(({{1, 1}, {1, -1}}))  oraz  (T^(-1))=(({{(1/2), (1/2)}, {(1/2), -(1/2)}})).

Możemy zapisać macierz A w bazie złożonej z wektorów własnych otrzymując

(({{(1/2), (1/2)}, {(1/2), -(1/2)}}))(({{3, -1}, {-1, 3}}))(({{1, 1}, {1, -1}}))=(({{2, 0}, {0, 4}})).

Cel takiego działania jest jasny z ostatniego obliczenia — mamy znacznie prostszą postać macierzy A.

Przykład (wartości własne, wektory własne, diagonalizacja). Rozpatrujemy następującą macierz

A=(({{(32/9), -(5/9), (7/9), (8/9), -(8/9)}, {(8/9), (29/18), (4/9), (49/18), -(49/18)}, {(2/9), (5/18), (19/9), (19/18), -(19/18)}, {(8/9), -(5/36), (4/9), (161/36), -(17/36)}, {0, -(3/4), 0, (3/4), (13/4)}})).

Wielomian charakterystyczny.

({{w(λ)=120-274 λ+225 (λ^2)-85 (λ^3)+15 (λ^4)-(λ^5)}, {                                =-(-5+λ) (-4+λ) (-3+λ) (-2+λ) (-1+λ)}})

Wartości własne to sp(A)={1,2,3,4,5}. Wektory własne to

({{(Subscript[v, 1])=(({{1, 3, 0, 0, 1}}))}, {(Subscript[v, 2])=(({{1, 0, -2, 0, 0}}))}, {(Subscript[v, 3])=(({{2, -1, -1, -1, 0}}))}, {(Subscript[v, 4])=(({{0, 0, 0, 1, 1}}))}, {(Subscript[v, 5])=(({{1, 2, 1, 2, 0}}))}})

Macierze przejścia są postaci

T=(({{1, 1, 2, 0, 1}, {3, 0, -1, 0, 2}, {0, -2, -1, 0, 1}, {0, 0, -1, 1, 2}, {1, 0, 0, 1, 0}}))  oraz  (T^(-1))=(({{0, (1/4), 0, -(1/4), (1/4)}, {-(1/9), (1/9), -(5/9), (2/9), -(2/9)}, {(4/9), -(7/36), (2/9), -(5/36), (5/36)}, {0, -(1/4), 0, (1/4), (3/4)}, {(2/9), (1/36), (1/9), (11/36), -(11/36)}})).

Po diagonalizacji otrzymujemy macierz

(T^(-1))A T=(({{0, (1/4), 0, -(1/4), (1/4)}, {-(1/9), (1/9), -(5/9), (2/9), -(2/9)}, {(4/9), -(7/36), (2/9), -(5/36), (5/36)}, {0, -(1/4), 0, (1/4), (3/4)}, {(2/9), (1/36), (1/9), (11/36), -(11/36)}}))(({{(32/9), -(5/9), (7/9), (8/9), -(8/9)}, {(8/9), (29/18), (4/9), (49/18), -(49/18)}, {(2/9), (5/18), (19/9), (19/18), -(19/18)}, {(8/9), -(5/36), (4/9), (161/36), -(17/36)}, {0, -(3/4), 0, (3/4), (13/4)}}))(({{1, 1, 2, 0, 1}, {3, 0, -1, 0, 2}, {0, -2, -1, 0, 1}, {0, 0, -1, 1, 2}, {1, 0, 0, 1, 0}}))=(({{1, 0, 0, 0, 0}, {0, 2, 0, 0, 0}, {0, 0, 3, 0, 0}, {0, 0, 0, 4, 0}, {0, 0, 0, 0, 5}})).

Postać Jordana macierzy.

Uwaga. Poniższe podejście do postaci Jordana nie jest ścisłe i ma przedstawić tylko jedną z możliwych procedur. Osoby zainteresowane ściśłą matematyką powinny raczej poczytać przyzwoity podręcznik z algebry liniowej.

Zakładamy, że rozważamy przekształcenie liniowe A:(K^N)->(K^N), gdzie K jest ciałem skalarów algebraicznie domkniętym (algebraically closed field), np. ciało liczb zespolonych. Rozważamy wartość własną λ o krotności algebraicznej k i krotności geometrycznej j. Chcemy znaleźć bazę, w której wartości własnej λ odpowiada tzw. klatka Jordana postaci

(({{({{λ,  ,  }, { , ⋱,  }, { ,  , λ}}),  }, { , ({{λ, 1,  ,  }, { , ⋱, ⋱,  }, { ,  , ⋱, 1}, { ,  ,  , λ}})}})),

gdzie pierwsza “podklatka” ma wymiar j×j a druga (k-j)×(k-j). Cała klatka ma wymiary k×k.

Procedura polega na (1) znalezieniu wszystkich j wektorów własnych a następnie  (2) na znalezieniu tzw. serii wektorów. Jako pierwsze ustawiamy wektory własne (h^1),…,(h^j). Istnieją kolejne wektory (h^(j+1)),(h^(j+2)),…,(h^k), które spełniają rekurencję

({{({{({{A (h^j)=λ (h^j)}, {A (h^(j+1))=λ (h^(j+1))+(h^j)}})}, {⋮}})}, {A (h^k)=λ (h^k)+(h^(k-1)).}})

W tak skonstruowanej bazie odpowiednia część macierzy będzie postulowanej postaci.

Uwaga. Warto zwrócić uwagę, że sformułowanie jest takie, że istnieją takie wektory ale nie oznacza to, że dla dowolnego wyboru wektorów własnych będzie można przeprowadzić postulowana procedurę.

Twierdzenie. Każdą macierz A o wymiarach N×N można zapisać w postaci Jordana.

Twierdzenie. Niech (Subscript[λ, 1]),…,(Subscript[λ, N]) będą wartościami własnymi macierzy A o wymiarach N× N, z ewentualnymi powtórzeniami odpowiadającymi krotnościom algebraicznym. Wtedy zachodzi

tr(A)=(∑_(n=1)^N)(Subscript[λ, n])   oraz   det(A)=(∏_(n=1)^N)(Subscript[λ, n]).

Przykład (postać Jordana). Niech dana będzie macierz

A=(({{(8/3), -(1/3)}, {(4/3), (4/3)}})).

Wielomian charakterystyczny

w(λ)=4-4 λ+(λ^2)=(((-2+λ))^2).

Jedyna wartość własna to λ=2 o krotności algebraicznej 2.

Wektory własne

(A-2 I)(Subscript[v, 1])=0 => (Subscript[v, 1])=α (({{1}, {2}})) => (Subscript[v, 1])=(({{1}, {2}})).

Brakuje jednego wektora bazy. Obliczamy go z układu

(A-2 I)(Subscript[v, 2])=(Subscript[v, 1]) => (Subscript[v, 2])=(({{0}, {-3}}))+α (({{1}, {2}})) => (Subscript[v, 2])=(({{2}, {1}})).

Macierze przejścia

T=(({{1, 2}, {2, 1}}))  oraz  (T^(-1))=(({{-(1/3), (2/3)}, {(2/3), -(1/3)}}))

Postać Jordana

(T^(-1)) A T=(({{-(1/3), (2/3)}, {(2/3), -(1/3)}}))(({{(8/3), -(1/3)}, {(4/3), (4/3)}}))(({{1, 2}, {2, 1}}))=(({{2, 1}, {0, 2}})).

Przykład (postać Jordana). Niech dana będzie macierz

A=(({{(7/3), -(1/3), 0}, {(1/3), (5/3), 0}, {(2/3), -(2/3), 2}})).

Wielomian charakterystyczny

w(λ)=8-12 λ+6 (λ^2)-(λ^3)=-(((-2+λ))^3).

Jedyna wartość własna to λ=2 o krotności algebraicznej 3.

Wektory własne

(A-2 I)v=0 => v=α (({{1}, {1}, {0}}))+β (({{0}, {0}, {1}}))

Jako wektory własne przyjmujemy (α=1, β=2 dla (Subscript[v, 2]))

(Subscript[v, 1])=(({{1}, {1}, {0}})), (Subscript[v, 2])=(({{1}, {1}, {2}})).

Warto zwrócić uwagę, że dobór wektora (Subscript[v, 2]) nie jest automatyczny.

Brakuje jednego wektora bazy. Obliczamy go z układu

(A-2 I)(Subscript[v, 3])=(Subscript[v, 2]) => (Subscript[v, 3])=(({{0}, {-3}, {0}}))+α (({{1}, {1}, {0}}))+β (({{0}, {0}, {1}})) => (Subscript[v, 3])=(({{0}, {-3}, {0}}))

Macierze przejścia

T=(({{1, 1, 0}, {1, 1, -3}, {0, 2, 0}}))  oraz  (T^(-1))=(({{1, 0, -(1/2)}, {0, 0, (1/2)}, {(1/3), -(1/3), 0}}))

Postać Jordana

(T^(-1)) A T=(({{1, 0, -(1/2)}, {0, 0, (1/2)}, {(1/3), -(1/3), 0}})) (({{(7/3), -(1/3), 0}, {(1/3), (5/3), 0}, {(2/3), -(2/3), 2}})) (({{1, 1, 0}, {1, 1, -3}, {0, 2, 0}}))=(({{2, 0, 0}, {0, 2, 1}, {0, 0, 2}})).

Przykład (postać Jordana). Niech dana będzie macierz

A=(({{2, 1, 0}, {-(3/4), (9/4), (1/4)}, {(3/4), (11/4), (7/4)}})).

Wielomian charakterystyczny

w(λ)=8-12 λ+6 (λ^2)-(λ^3)=-(((-2+λ))^3).

Jedyna wartość własna to λ=2 o krotności algebraicznej 3.

Wektory własne

(A-2 I)v=0 => v=α (({{1}, {0}, {3}}))

Jako wektory własne przyjmujemy

(Subscript[v, 1])=(({{1}, {0}, {3}})),

Brakuje dwóch wektora bazy. Pierwszy obliczamy z układu

(A-2 I)(Subscript[v, 2])=(Subscript[v, 1]) => (Subscript[v, 2])=(({{0}, {1}, {-1}}))+α (({{1}, {0}, {3}})).

Jako drugi wektor bazy przyjmujemy

(Subscript[v, 2])=(({{0}, {1}, {-1}})).

Trzeci wektor bazy obliczamy z układu

(A-2 I)(Subscript[v, 3])=(Subscript[v, 2]) => (Subscript[v, 3])=(({{0}, {0}, {4}}))+α (({{1}, {0}, {3}})).

Jako trzeci wektor bazy przyjmujemy

(Subscript[v, 3])=(({{0}, {0}, {4}})).

Macierze przejścia

T=(({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {3, -1, 4}}))  oraz  (T^(-1))=(({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {-(3/4), (1/4), (1/4)}}))

Postać Jordana

(T^(-1)) A T=(({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {-(3/4), (1/4), (1/4)}})) (({{2, 1, 0}, {-(3/4), (9/4), (1/4)}, {(3/4), (11/4), (7/4)}})) (({{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {3, -1, 4}}))=(({{2, 1, 0}, {0, 2, 1}, {0, 0, 2}})).