Ekonomia matematyczna / Egzamin / Rozwiązania

2022-02-12 / Termin 2

Zadanie 1

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=2 (x^2)+(y^2)-1
y'=x-2 y

(a 2 pkt.) Wyznaczyć wszystkie równowagi.

(b 4 pkt.) Zbadać stabilność wszystkich równowag.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy wszystkie równowag podanegu układu. Mamy układ postaci

2 (x^2)+(y^2)-1==0
x-2 y==0

skąd otrzymujemy następujące równowagi

A=(-(2/3),-(1/3)) oraz B=((2/3),(1/3)).

Aby sprawdzić stabilność tych równowag obliczamy linearyzację układu otrzymując

J=(({{4 x, 2 y}, {1, -2}}))

Analizujemy równowagi w kolejności. Dla równowagi A otrzymujemy linearyzację postaci

(Subscript[J, A])=(({{-(8/3), -(2/3)}, {1, -2}}))

Obliczając wyznacznik macierzy (Subscript[J, A]) otrzymujemy det (Subscript[J, A])=6 oraz tr (Subscript[J, A])=-14/3. W przypadku rzeczywistych wartości własnych wiemy, że są one tego samego znaku (dodatni wyznacznik) oraz ujemne (ujemny ślad). W przypadku sprzężonej pary zespolonych wartości własnych wiemy, że część rzeczywista jest ujemna (ujemny ślad). Wnioskujemy, że równowaga jest stabilna. Dla równowagi B otrzymujemy następującą macierz linearyzacji

(Subscript[J, B])=(({{(8/3), (2/3)}, {1, -2}}))

Obliczamy wyznacznik det (Subscript[J, B])=-6 oraz ślad tr (Subscript[J, B])=-6. Ponieważ wyznacznik jest ujemny więc wiemy, że wartości własne muszą być rzeczywiste i są przeciwnych znaków. Wnioskujemy, że równowaga nie jest stabilna.

Poniżej pokazany jest portret fazowy powyższego układu.

Zadanie 2

Zadanie

Dane jest równanie różniczkowe postaci

x''(t)-2 x'(t)+x(t)==t+sin(t)

(a 6 pkt.) Podaj rzeczywiste rozwiązanie ogólne.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności skupimy się na jednorodnym liniowym równaniu różniczkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach postaci

x''(t)-2 x'(t)+x(t)==0.

Wielomian charakterystyczny jest postaci

w(λ)=(λ^2)-2 λ+1=(((λ-1))^2).

Mamy tylko jeden pierwiastek o krotności algebraicznej 2. Rozwiązania bazowe są tutaj postaci

x=(Subscript[C, 1])(e^t), x=(Subscript[C, 2])t (e^t)

Rozwiązanie równania jednorodnego jest postaci

x=(Subscript[C, 1]) (e^t)+(Subscript[C, 2]) t (e^t).

Rozwiązania szczególnego szukamy w postaci sumy wielomanu pierwszego stopnia oraz kombinacji liniowej funkcji sin i cos. Mamy zatem

u=a+b t+c sin(t)+d cos(t)
u'=b+c cos(t)-d sin(t)
u''=-c sin(t)-d cos(t)

Wstawiając to do początkowego równania otrzymujemy nastepujące równanie

a-2 (b+c cos(t)-d sin(t))+b t==t+sin(t)
a+b t-2 b-2 c cos(t)+2 d sin(t)==t+sin(t)

Skąd mamy

a-2 b=0
b=1
-2c=0
2d=1

Skąd otrzymujemy a=2, b=1, c=0, d=1/2 i rozwiązanie szczególne jest postaci

u=2+t+(1/2)cos(t).

Ostatecznie zatem rozwiązanie ogólne początkowego równania niejednorodnego jest postaci

x=(Subscript[C, 1]) (e^t)+(Subscript[C, 2]) t (e^t)+2+t+(1/2)cos(t).

Przykładowe wykresy rozwiązania dla różnych kombinacji parametrów (Subscript[C, 1]),(Subscript[C, 2]) są pokazane poniżej.

(Legended[, (LineLegend["\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", RowBox[{\"-\", \"1\"}]}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", RowBox[{\"-\", \"1\"}]}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)", "\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", RowBox[{\"-\", \"1\"}]}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"0\"}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)", "\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", RowBox[{\"-\", \"1\"}]}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"1\"}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)", "\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"0\"}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", RowBox[{\"-\", \"1\"}]}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)", "\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"0\"}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"0\"}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)", "\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"0\"}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"1\"}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)", "\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"1\"}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", RowBox[{\"-\", \"1\"}]}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)", "\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"1\"}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"0\"}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)", "\!\(\*FormBox[RowBox[{\"{\", RowBox[{RowBox[{TemplateBox[List[\"1\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"1\"}], \",\", RowBox[{TemplateBox[List[\"2\"], \"CTraditional\"], \"->\", \"1\"}]}], \"}\"}], TraditionalForm]\)"])])

Zadanie 3

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=-2 x-z
y'=-3 x+y-z
z'=-3 z

Niech ϕ(t,a), a∈(ℝ^3) będzie rozwiązaniem szczególnym powyższego układu równań spełniającym warunek początkowy ϕ(0,a)=a (a więc jest to rozwiązanie  startujące z punktu a∈(ℝ^3)).

(a 6 pkt.) Podać zbiór takich punktów a∈(ℝ^3), dla których rozwiązanie ϕ(t,a) zbiega do początku układu współrzędnych, tj. (lim_(t->∞))ϕ(t,a)=0.

Rozwiązanie

Punkt 0 jest jedyną równowagą powyższego układu równań więc powyższe pytanie jest, de facto, pytaniem dotyczącym w jakimś zakresie stabilności (asymptotycznej) jedynej równowagi. Sprawdźmy zatem wartości własne macierzy współczynników powyższego układu. Wielomian charakterystyczny jest tutaj postaci

w(λ)=-(λ^3)-4 (λ^2)-λ+6=(λ-1) (λ+2) (λ+3).

Wartości własne są zatem (Subscript[λ, 1])=-3,λ=-2,λ=1. Równowaga nie jest zatem stabilna ale dwie wartości są ujemne. Poszukiwany zbiór jest zatem podprzestrzenią liniową zadaną przez wektory własne związane z ujemnymi wartościami.

Dla wartości (Subscript[λ, 1])=-3 mamy następujące obliczenia.

(({{1, 0, -1}, {-3, 4, -1}, {0, 0, 0}}))∼(({{1, 0, -1}, {0, 4, -4}, {0, 0, 0}}))∼(({{1, 0, -1}, {0, 1, -1}, {0, 0, 0}}))

Rozwiązanie ogólne jest tutaj postaci

v=α·(({{1}, {1}, {1}})).

Jako wektor własny przyjmujemy wektor (1,1,1).

Dla wartości własnej (Subscript[λ, 2])=-2 mamy następujące obliczenia.

(({{0, 0, -1}, {-3, 3, -1}, {0, 0, -1}}))∼(({{0, 0, 1}, {-3, 3, -1}, {0, 0, -1}}))∼(({{0, 0, 1}, {-3, 3, -1}, {0, 0, 0}}))∼(({{0, 0, 1}, {-3, 3, 0}, {0, 0, 0}}))∼(({{0, 0, 1}, {-1, 1, 0}, {0, 0, 0}}))

Rozwiązanie ogólne jest tutaj postaci

v=α·(({{1}, {1}, {0}})).

Zatem zbiór, o który jest pytanie w zadaniu jest rozpinany przez wektory (1,1,1) i (1,1,0). Możemy go zatem zapisać jako span((1,1,1),(1,1,0)). Jest on przedstawiony poniżej na wykresie.

Zadanie 4

Zadanie

Funkcja produkcji jest zadana wzorem f((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))=(Sqrt[(Subscript[x, 1])])+(Subscript[x, 2]), gdzie (Subscript[x, 1])>=0 i (Subscript[x, 2])>=0 to czynniki produkcji w cenach (Subscript[p, 1])>1 i (Subscript[p, 2])>0 odpowiednio. Firma przyjeła zamównienie na wyprodukowanie o>(Subscript[p, 2]) ilości towaru.

(a 6 pkt.) Wyznaczyć optymalny plan produkcji, ((Subscript[x, 1]^( * )),(Subscript[x, 2]^( * ))). Odpowiedź uzasadnić.

Rozwiązanie

Firma przyjeła zamównie na ilość towaru o a więc musi zachodzi f((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))=o. Jest to ograniczenie w zadaniu minimalizacji kosztu (Subscript[p, 1])(Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2])(Subscript[x, 2])->min. Funkcja Lagrange’a ma zatem postać

ℒ=(Subscript[p, 1])(Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2])(Subscript[x, 2])-λ ((Sqrt[(Subscript[x, 1])])+(Subscript[x, 2])-o)

Warunki optymalności pierwszego rzędu są tutaj postaci

((∂ℒ)/(∂(Subscript[x, 1])))=(Subscript[p, 1])-(λ/(2 (Sqrt[(Subscript[x, 1])])))==0
((∂ℒ)/(∂(Subscript[x, 2])))=(Subscript[p, 2])-λ==0
(Sqrt[(Subscript[x, 1])])+(Subscript[x, 2])-o=0

Rozwiązując otrzymujemy

(Subscript[x, 1])->(((Subscript[p, 2])^2)/(4 ((Subscript[p, 1])^2)))
(Subscript[x, 2])=o-((Subscript[p, 2])/(2(Subscript[p, 1])))
λ->(Subscript[p, 2])

Ponieważ założyliśmy, że o>(Subscript[p, 2]) i (Subscript[p, 1])>1 więc mamy o>(Subscript[p, 2])>(Subscript[p, 2])/(2(Subscript[p, 1])) skąd (Subscript[x, 2]^( * ))>0. Wyznaczony optymalny plan produkcji rzeczywiście minimalizuje koszt ze względu na wypukłość funkcji celu.

Zadanie 5

Zadanie

Funkcja użyteczności konsumenta jest zadana wzorem u=(Subscript[x, 1])+2(Subscript[x, 2]). Ceny dóbr wynoszą odpowiednio (Subscript[p, 1])>0 i (Subscript[p, 2])>0. Bogactwo konsumenta wynosi w>0.

(a 6 pkt.) Podać optymalny koszyk konsumenta.

Rozwiązanie

Warto zauważyć, że warunek optymalności pierwszego rzędu wymaga aby gradient funkcji celu, tutaj (1,2) był współliniowy do gradientu ograniczenia, tutaj ((Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2])). Jest to możliwe tylko wtedy jeżeli ((Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]))=α·(1,2), dla a>0. Jeżeli zatem wektor cen spełnia ten warunek to każdy punkt na ograniczeniu budżetowym go spełnia i wtedy dowolny koszy znajdujący się na ograniczeniu budżetowym postaci (Subscript[x, 1])+2 (Subscript[x, 2])=w/α jest koszykiem optymalnym. Innymi słowy dla wektorów cen, dla których zachodzi (Subscript[p, 2])=2 (Subscript[p, 1])każdy koszyk znajdujący się na ograniczeniu budżetowym.

Jeżeli zachodzi nierówność (Subscript[p, 2])>2 (Subscript[p, 1]) to żaden koszy we wnęrzu (relatywnym) ograniczenia budżetowego nie spełnia warunku optymalności. Konsekwentnie koszy optymalny będzie znajdował się albo w punkcie (w/(Subscript[p, 1]),0) albo w punkcie (0,w/(Subscript[p, 2])). Użyteczności konsumenta z pierwszego koszyka wynosi w/(Subscript[p, 1]) a z drugiego 2 w/(Subscript[p, 2]). Ponieważ (Subscript[p, 2])>2(Subscript[p, 1]) więc w/(Subscript[p, 1])>2w/(Subscript[p, 2]) a więc optymalny koszyk to (w/(Subscript[p, 1]),0). W przypadku nierówności odwrotnej, optymalny koszyk to (0,w/(Subscript[p, 2])).