Ekonomia matematyczna / Egzamin / Rozwiązania

2022-01-29 / Termin I

Zadanie 1

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=(x^2)+(y^2)-2
y'=x+y

(a 2 pkt.) Wyznaczyć wszystkich równowagi.

(b 4 pkt.) Zbadać stabilność wszystkich równowag.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy liczbę równowag podanegu układu. Mamy układ postaci

(x^2)+(y^2)-2=0
x+y=0

skąd otrzymujemy następujące równowagi

A=(-1,1) oraz B=(1,-1).

Aby sprawdzić stabilność tych równowag obliczamy linearyzację układu otrzymując

J=(({{2 x, 2 y}, {1, 1}}))

Analizujemy równowagi w kolejności. Dla równowagi A otrzymujemy linearyzację postaci

(Subscript[J, A])=(({{-2, 2}, {1, 1}}))

Obliczając wyznacznik macierzy (Subscript[J, A]) otrzymujemy det (Subscript[J, A])=-4 skąd wiemy, że wartości własne muszą być rzeczywiste oraz przeciwnych znaków. Stąd równowaga nie jest stabilna. Dla równowagi B otrzymujemy następującą macierz linearyzacji

(Subscript[J, B])=(({{2, -2}, {1, 1}}))

Obliczamy wyznacznik det (Subscript[J, B])=4 oraz ślad tr (Subscript[J, B])=3. Jeżeli wartości własne są rzeczywiste to muszą być takich samych znaków (wyznacznik) oraz dodatnie (ślad). Jeżeli wartości własne są zespolone to część rzeczywista jest dodatnia (ślad). Konkludując, równowaga nie jest stabilna. Poniżej pokazany jest portret fazowy.

Zadanie 2

Zadanie

Dane jest równanie różniczkowe postaci

(e^x)·x'=t  (e^x)+(t^2)·(e^((t^2)/2))

(a 6 pkt.) Podaj rzeczywiste rozwiązanie ogólne.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności stosujemy podstawienie y=(e^x) co daje y'=(e^x)·x'. Równanie ma zatem postać

y'=t y+(t^2)(e^((t^2)/2)).

W pierwszej kolejności rozwiązujemy równanie jednorodne

y'=t y

co prowadzi do rozwiązania y=K (e^((t^2)/2)). Wstawiając rozwiązanie równania jednorodnego do początkowego równania otrzymujemy

K' (e^((t^2)/2))+K (e^((t^2)/2)) t=t K (e^((t^2)/2))+(t^2) (e^((t^2)/2))
K'=(t^2)
K=(1/3)(t^3)+C

Wstawiając do rozwiązania równania jednorodego otrzymujemy rozwiązania równania niejednorodnego postaci

y=(C+((t^3)/3))·(e^((t^2)/2))

Cofając podstawienie otrzymujemy rozwiązanie w terminach oryginalnej funkcji postaci

x=(1/2)(t^2)+log(C+((t^3)/3))

Zadanie 3

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=2 x-y+z
y'=-x+2 y-z
z'=2 x+2 y+3 z

(a 6 pkt.) Podać rzeczywiste rozwiązanie ogólne.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wypisujemy macierz współczynników otrzymując

A=(({{2, -1, 1}, {-1, 2, -1}, {2, 2, 3}})).

Obliczamy wielomian charakterystyczny otrzymując

w=-(λ^3)+7 (λ^2)-15 λ+9=-(((λ-3))^2) (λ-1)

Mamy zatem dwie wartości własne λ=1 oraz λ=3. Obliczamy wektory własne.

Dla wartości własnej λ=1 mamy następujące obliczenia.

(({{1, -1, 1}, {-1, 1, -1}, {2, 2, 2}}))∼(({{1, -1, 1}, {0, 0, 0}, {2, 2, 2}}))∼(({{1, -1, 1}, {0, 0, 0}, {0, 4, 0}}))∼(({{1, -1, 1}, {0, 0, 0}, {0, 1, 0}}))∼(({{1, 0, 1}, {0, 0, 0}, {0, 1, 0}}))

Rozwiązanie ogólne jest tutaj postaci

v=α·(({{-1}, {0}, {1}})).

Jako wektor własny możemy przyjąć wektor (-1, 0, 1).

Dla wartości własnej λ=3 postępujemy podobnie.

(({{-1, -1, 1}, {-1, -1, -1}, {2, 2, 0}}))∼(({{1, 1, -1}, {-1, -1, -1}, {2, 2, 0}}))∼(({{1, 1, -1}, {0, 0, -2}, {2, 2, 0}}))∼(({{1, 1, -1}, {0, 0, -2}, {0, 0, 2}}))∼(({{1, 1, -1}, {0, 0, 1}, {0, 0, 2}}))∼(({{1, 1, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}}))

Rozwiązanie ogólne jest tutaj postaci

v=α·(({{-1}, {1}, {0}})).

Jako wektor własny możemy przyjąć wektor (-1,1,0). Krotność algebraiczna wartości własnej λ=3 wynosi 2 a krotność geometryczna tylko 1. Wyznaczamy zatem wektor serii. Mamy następujące obliczenia.

(({{-1, -1, 1, -1}, {-1, -1, -1, 1}, {2, 2, 0, 0}}))∼(({{1, 1, -1, 1}, {-1, -1, -1, 1}, {2, 2, 0, 0}}))∼(({{1, 1, -1, 1}, {0, 0, -2, 2}, {2, 2, 0, 0}}))∼(({{1, 1, -1, 1}, {0, 0, -2, 2}, {0, 0, 2, -2}}))∼(({{1, 1, -1, 1}, {0, 0, 1, -1}, {0, 0, 2, -2}}))∼(({{1, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, -1}, {0, 0, 0, 0}}))

Rozwiązanie ogólne jest tutaj postaci

v=(({{0}, {0}, {-1}}))+α·(({{-1}, {1}, {0}})).

Jako wektor serii możemy przyjąć wektor (0,0,-1). Ostatecznie rozwiązanie ogólne jest postaci

(({{x}, {y}, {z}}))=(Subscript[C, 1])·(({{-1}, {0}, {1}}))·(e^t)+(Subscript[C, 2])·(({{-1}, {1}, {0}}))·(e^(3t))+(Subscript[C, 3])·(t·(({{-1}, {1}, {0}}))+(({{0}, {0}, {-1}})))·(e^(3t))

Zadanie 4

Zadanie

Niech stopa inflacji wynosi i w skali roku. Niech r będzie nominalną stopą oprocentowania rocznego.

(a 6 pkt.) Pokazać, że jeżeli r>log(1+i) to istnieje dostatecznie częsta kapitalizacja odsetek, że oprocentowanie realne nie jest ujemne.

Rozwiązanie

Niech n będzie liczbą kapitalizacji odsetek. Aby oprocentowanie realne było nieujemne musi zachodzić

((((r/n)+1))^n)>=1+i

Przekształcając powyższą nierówność otrzymujemy

r≥n·((((i+1))^(1/n))-1)

Wyrażenie po prawej stronie jest malejącą funkcją n i zachodzi n·((((i+1))^(1/n))-1)->log(1+i) przy n->∞. Stąd jeżeli tylko r>log(1+i) to istnieje dostatecznie duża liczba n (liczba kapitalizacji odsetek), dla które początkowa nierówność jest zachowana.

Zadanie 5

Zadanie

Użyteczność konsumenta jest wyrażona funkcją użyteczności postaci

u((Subscript[x, 1]),…,(Subscript[x, n]))=(∏_(i=1)^n)(Subscript[x, i]^(Subscript[α, i])),

gdzie (Subscript[α, i])>0 dla każdego i=1, …,n oraz (Subscript[α, 1])+…+(Subscript[α, n])=1. Dobra posiadają ceny (Subscript[p, i])>0, dla i=1, …,n. Konsument dysponuje bogactwem w>0.

(a 6 pkt.) Podać optymalny koszyk konsumenta.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności zamiast rozważać podaną funkcji użyteczności, rozważamy jej logarytm co daje nam optymalizowaną funkcję postaci

log(u)=(∑_(i=1)^n)(Subscript[α, i])·log((Subscript[x, i])).

Funkcja Lagrangea jest zatem postaci

ℒ=(∑_(i=1)^n)(Subscript[α, i])·log((Subscript[x, i]))-λ ((∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i])(Subscript[x, i])-w).

Warunki pierwszego rzędu są postaci

((∂ℒ)/(∂(Subscript[x, i])))=((Subscript[α, i])/(Subscript[x, i]))-λ (Subscript[p, i])=0
(∑_(i=1)^n)(Subscript[p, i])(Subscript[x, i])=w

Mamy zatem (pierwsze równania)

(Subscript[p, i]) (Subscript[x, i])=((Subscript[α, i])/λ).

Wstawiając do ograniczenia budżetowego otrzymujemy

(∑_(i=1)^n)((Subscript[α, i])/λ)=w
(1/λ)·(∑_(i=1)^n)(Subscript[α, i])=w
(1/λ)=w
λ=(1/w)

Ostatecznie optymaly popyt jest postaci

(Subscript[x, i])=(((Subscript[α, i]) w)/(Subscript[p, i])).

Optymalizowana funkcja jest wypukłą kombinacją liniową funkcji wklęsłych a więc jest wklęsła a optymalizacja jest przeprowadzana na zbiorze wypukłym a zatem warunki pierwszego rzędu sa dostateczne.