Ekonomia matematyczna / Egzamin / Rozwiązania

2021-02-13 / Termin II

Zadanie 1

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=x-(y^2)
y'=x-4 (y^2)+1

(a 3 pkt.) Wyznaczyć liczbę wszystkich równowag. Odpowiedź uzasadnić.

(b 3 pkt.) Zbadać stabilność wszystkich równowag.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy liczbę równowag podanegu układu. Mamy układ postaci

x-(y^2)=0
x-4 (y^2)+1=0

skąd otrzymujemy

x=(y^2)
x=4 (y^2)-1

i ostatecznie

(y^2)=4 (y^2)-1

Powyższe równanie łatwo rozwiązujemy otrzymując y=±1/(Sqrt[3]) i konsekwentnie x=1/3. Mamy zatem dwie równowagi A=(1/3,-1/(Sqrt[3])) i B=(1/3,1/(Sqrt[3])).

Aby sprawdzić stabilność tych równowag obliczamy linearyzację układu otrzymując

J=(({{1, -2 y}, {1, -8 y}}))

Obliczamy wyznacznik i ślad linearyzacji otrzymując

det J=-6 y
tr J=1-8 y

W przypadku równowagi A mamy zatem det (Subscript[J, A])>0 i tr (Subscript[J, A])>0. W takiej sytuacji wartości własne są albo liczbami rzeczywistymi tego samego znaku i ponieważ ślad jest dodatni więc muszą być to liczby dodatnie. Wartości własne mogą być również parą sprzężonych liczb zespolonych, dla których części rzeczywista jest dodatnia. W obu przypadkach równowaga nie jest stabilna. Dla równowagi B mamy det (Subscript[J, B])<0 a więc wartości własne są rzeczywiste o różnych znaka. Konsekwentnie równowaga nie jest stabilna (siodło).

Zadanie 2

Zadanie

Dane jest równanie różniczkowe postaci

48 x'(t)+12 x''(t)+Derivative[3][x](t)+64 x(t)==0.

(a 4 pkt.) Podaj rzeczywiste rozwiązanie ogólne.

(b 2 pkt.) Jaki warunek muszą spełniać stałe całkowe (Subscript[C, i]), i=1,2,3 aby funkcja x(t) (e^(4t)) posiadała maksimum? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności rozwiązujemy podane równanie różniczkowe. Wypisujemy wielomian charakterystyczny

w(λ)=(λ^3)+12 (λ^2)+48 λ+64=(((λ+4))^3)

Mamy zatem jeden pierwiastek λ=-4 o krotności algebraicznej 3. Rozwiązania bazowe są tutaj postaci

(e^(-4t)), t (e^(-4t)), (t^2) (e^(-4t))

i rozwiązanie ogólne jest postaci

x(t)=(CTraditional[3]) (e^(-4 t)) (t^2)+(CTraditional[2]) (e^(-4 t)) t+(CTraditional[1]) (e^(-4 t))

Definiujemy fukcję g(t) jako

g(t)=(e^(4t)) x(t)=(CTraditional[3]) (t^2)+(CTraditional[2]) t+(CTraditional[1])

Powyższa funkcja to wielomian kwadratowy, który posiada maksimum wtedy i tylko wtedy jeżeli (Subscript[c, 3])≤0 (jeżeli (Subscript[c, 3])=0 to oczywiście każdy element dziedziny jest maksimum).

Zadanie 3

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=4 x+y+z
y'=3y
z'=-x-y+2 z

(a 6 pkt.) Podać ogólne rozwiązanie rzeczywiste.

Rozwiązanie

Macierz współczynników dla powyższego układu wynosi

A=(({{4, 1, 1}, {0, 3, 0}, {-1, -1, 2}}))

Wielomian charakterystyczny wynosi

w(λ)=-(λ^3)+9 (λ^2)-27 λ+27=-(((λ-3))^3)

skąd mamy  jedną wartość własną λ=3 o krotności algebraicznej 3. Obliczamy wektory własne i serię wektorów związanych z tą wartością własną. Macierz rozszerzona dla zadania własnego wynosi

(({{1, 1, 1, 0}, {0, 0, 0, 0}, {-1, -1, -1, 0}}))∼(({{1, 1, 1, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}}))

Rozwiązanie ogólne powyższego układu jest postaci

(Subscript[v, 1])=α
(Subscript[v, 2])=β
(Subscript[v, 3])=-α-β

Wartość własna ma krotność geometryczną 2. Jako wektory własny możemy przyjąć wektory (0,1,-1) oraz (1,0,-1). Obliczmy jeden brakujący wektor serii. Macierz rozszerzona układu wynosi

(({{1, 1, 1, 1}, {0, 0, 0, 0}, {-1, -1, -1, -1}}))∼(({{1, 1, 1, 1}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}}))

Rozwiązanie ogólne jest tutaj postaci

(Subscript[v, 1])=α
(Subscript[v, 2])=β
(Subscript[v, 3])=1-α-β

Jako wektor serii możemy przyjąć wektor (0,0,1). Rozwiązanie jest zatem ostatecznie postaci

x(t)=(Subscript[c, 1])(({{0}, {1}, {-1}}))(e^(3t))+(Subscript[c, 2])(({{1}, {0}, {-1}}))(e^(3t))+(Subscript[c, 3])(t (({{1}, {0}, {-1}}))+(({{0}, {0}, {1}})))(e^(3t)).

Zadanie 4

Zadanie

Preferencje konsumenta są opisane funkcją użyteczności postaci u((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))=(Subscript[x, 1])+log((Subscript[x, 2])+1), gdzie (Subscript[x, 1]) i (Subscript[x, 2]) to ilości konsumowanych dóbr. Konsument dysponuje bogactwem w>0. Ceny dóbr są zadane jako (Subscript[p, 2])=2 (Subscript[p, 1])>0.

(a 6 pkt.) Wyznacz popyt konsumenta. Odpowiedź uzasadnij (proszę się dokładnie zastanowić nad odpowiedzią i uzasadnieniem).

Rozwiązanie

Uzasadnimy, że koszyk (w/(Subscript[p, 1]),0) jest koszykiem optymalnym. Koszyk ten spełnia ograniczenia -(Subscript[x, 2])≤0, (Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])≤w z równościami. Zgodnie z twierdzeniem Kuhna-Tuckera musi zatem być spełniona równość

∇u=(({{1}, {1/(1+(Subscript[x, 2]))}}))=(Subscript[λ, 1])(({{0}, {-1}}))+(Subscript[λ, 2]) (({{(Subscript[p, 1])}, {(Subscript[p, 2])}}))

gdzie gradienty ograniczeń sa liniowo niezależne a więc podejrzany punkt jest regularny.

Powyższe równanie wektorowe przekłada się na następujący układ równań, w punkcie podejrzanym o ekstremum,

1=(Subscript[λ, 2]) (Subscript[p, 1])
1=-(Subscript[λ, 1])+(Subscript[λ, 2]) (Subscript[p, 2])

Powyższy układ równań daje następujące rozwiązanie

(Subscript[λ, 1])=-(((Subscript[p, 1])-(Subscript[p, 2]))/(Subscript[p, 1]))
(Subscript[λ, 2])=(1/(Subscript[p, 1]))

lub wykorzystując podaną zależność (Subscript[p, 2])=2 (Subscript[p, 1])

(Subscript[λ, 1])=1>0
(Subscript[λ, 2])=(1/(Subscript[p, 1]))>0

a zatem warunek pierwszego rzędu jest spełniony. Warunek ten jest dostateczny jeżeli optymalizowana funkcja jest wklęsła a optymalizacja jest przeprowadzana na zbiorze wypukłym.

Zadanie 5

Zadanie*

Zysk pewnego przedsiębiorstwa jest zadany jako funkcja postaci

𝒫=(∏_(n=1)^N)(Subscript[x, n]^(Subscript[α, n]))-(∑_(n=1)^N)(Subscript[c, n]) (Subscript[x, n]),

gdzie pierwszy element jest przychodem a drugi to koszt. Dodatkowo wiemy, że (Subscript[α, n]), n-1, …,N oraz (Subscript[α, 1])+…+(Subscript[α, N])=1 i (Subscript[c, n])>0. Przedsiębiorstwo ma ustalony budżet b>0 a więc całkowity koszt nie może przekroczyć tej wielkości. Przedsiębiorstwo maksymalizuje swój zysk i w przypadku straty wychodzi z rynku (zaprzestaje produkcji).

(a 6 pkt.) Jakie są optymalne wielkości czynników produkcji (Subscript[x, n]), n=1,…,N? Odpowiedź uzasadnij!

Rozwiązanie

Po pierwsze, rozwiązanie optymalne nie może znajdować się wewnątrz ograniczenia (Subscript[c, 1]) (Subscript[x, 1])+…+(Subscript[c, N]) (Subscript[x, N])≤b. Założmy, że istnieje pewien punkt (OverHat[x]), który jest optymalny. Rozważmy punkty postaci x=s (OverHat[x]), gdzie s>0. Wtedy funkcja zysku przyjmie postać

𝒫=(∏_(n=1)^N)(((s·(Subscript[(OverHat[x]), n])))^(Subscript[α, n]))-(∑_(n=1)^N)(Subscript[c, n]) s (Subscript[(OverHat[x]), n])=s·((∏_(n=1)^N)(Subscript[(OverHat[x]), n]^(Subscript[α, n]))-(∑_(n=1)^N)(Subscript[c, n])  (Subscript[(OverHat[x]), n])).

Wyrażenie w nawiasie musi być dodatnie, bo inaczej firma zaprzestaje produkcji. Jeżeli jednak wyrażenie to jest dodanie to zysk firmy można zwiększać tak długo, aż ograniczenie budżetowe zostanie spełnione z równością. Konkludując, rozwiązanie musi znajdować się na ograniczeniu budżetowym.

Jeżeli rozwiązanie znajduje się na ograniczeniu budżetowym to funkcja zysku` przyjmuje postać

𝒫=(∏_(n=1)^N)(Subscript[x, n]^(Subscript[α, n]))-b.

Zamiast maksymalizować taką funkcję można maksymalizować funkcję postaci

𝒫=(∏_(n=1)^N)(Subscript[x, n]^(Subscript[α, n]))

a nastepnie poddać ją logarytmowaniu co daje ostatecznie funkcję postaci

𝒫=(∑_(n=1)^N)(Subscript[α, n])·log((Subscript[x, n])),

która jest maksymalizowana z ograniczeniem postaci

(Subscript[c, 1]) (Subscript[x, 1])+…+(Subscript[c, N]) (Subscript[x, N])-b=0.

Zadanie to rozwiązujemy standardowo tworząc fukcję Lagrange’a

ℒ=(∑_(n=1)^N)(Subscript[α, n])·log((Subscript[x, n]))-λ ((Subscript[c, 1]) (Subscript[x, 1])+…+(Subscript[c, N]) (Subscript[x, N])-b)

Warunki pierwszego rzędu są tutaj postaci

((∂ℒ)/(∂(Subscript[x, n])))=(Subscript[α, n])·(1/(Subscript[x, n]))-λ (Subscript[c, n])=0, n=1,…,N.

Dla dowolnego n otrzymujemy zatem warunek postaci

((Subscript[α, n])/λ)= (Subscript[c, n]) (Subscript[x, n]), n=1,…,N.

Dzieląc stronami dowolne dwa takie równania otrzymujemy następujący związek

(((Subscript[c, k]) (Subscript[x, k]))/((Subscript[c, n]) (Subscript[x, n])))=((Subscript[α, k])/(Subscript[α, n]))
((Subscript[α, n])/(Subscript[α, k]))·(Subscript[c, k]) (Subscript[x, k])=·(Subscript[c, n]) (Subscript[x, n])

Wstawiając powyższy związek do oganiczenia budżetowego otrzyjujemy następującą zależność

(∑_(n=1)^N)(Subscript[c, n]) (Subscript[x, n])=(∑_(n=1)^N)((Subscript[α, n])/(Subscript[α, k]))·(Subscript[c, k]) (Subscript[x, k])=(((Subscript[c, k]) (Subscript[x, k]))/(Subscript[α, k]))·(∑_(n=1)^N)(Subscript[α, n])=(((Subscript[c, k]) (Subscript[x, k]))/(Subscript[α, k]))=b

skąd otrzymujemy (Subscript[x, k])=(Subscript[α, k]) b/(Subscript[c, k]) dla dowolnego k=1,…,N. Optymalności rozwiązania wynika z wklęsłości funkcji, która jest optymalizowana na zbiorze wypukły.