Ekonomia matematyczna / Egzamin / Rozwiązania

2021-02-02 / Termin I

Zadanie 1

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=2 (x^2)+(y^2)-1
y'=x+(y^2)

(a 3 pkt.) Wyznaczyć liczbę wszystkich równowag. Odpowiedź uzasadnić.

(b 3 pkt.) Zbadać stabilność wszystkich równowag.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy liczbę równowag podanegu układu. Mamy układ postaci

2 (x^2)+(y^2)-1=0
x+(y^2)=0

skąd otrzymujemy

2 (y^4)+(y^2)-1==0

Wprowadzamy podstawienie s=(y^2) co daje nam równanie postaci

2 (s^2)+s-1==0.

Równanie to rozwiązujemy otrzymując s=-1 (sprzeczność) oraz s=1/2. Otrzymujemy zatem, że y=±1/(Sqrt[2]) i konsekwentnie x=-1/2. Mamy zatem dokładnie dwie równowagi.

Aby sprawdzić stabilność tych równowag obliczamy linearyzację układu otrzymując

J=(({{4 x, 2 y}, {1, 2 y}})).

Wprowadzamy oznaczenia A=(-1/2,-1/(Sqrt[2])) i B=(-1/2,1/(Sqrt[2])). Analizujemy równowagi w kolejności. Dla równowagi A otrzymujemy linearyzację postaci

(Subscript[J, A])=(({{-2, -(Sqrt[2])}, {1, -(Sqrt[2])}})).

Możemy albo obliczyć wartości własne ale łatwiej jest obliczyć wyznacznik i ślad uzyskująć

det (Subscript[J, A])=3 (Sqrt[2])

tr (Subscript[J, A])=-2-(Sqrt[2])

Wnioskujemy, że jeżeli wartości własne są rzeczywiste to są tego samego znaku i ponieważ ich suma jest ujemna więc obie wartości własne są ujemne; jeżeli wartości własne są zespolone to są sprzężone z ujemną częścią rzeczywistą. W konkluzji zatem wiemy, że równowaga A jest asymptotycznie stabilna.

Podobną analizę wykonujemy dla równowagi B. Linearyzacja jest w tym przypadku postaci

(Subscript[J, B])=(({{-2, (Sqrt[2])}, {1, (Sqrt[2])}})).

Podobnie jak poprzednio obliczamy wyznacznik i ślad macierzy (Subscript[J, B]) otrzymując

det (Subscript[J, B])=-3 (Sqrt[2])

tr (Subscript[J, B])=(Sqrt[2])-2

Ponieważ wyznacznik jest ujemny więc wiemy, że wartości własne są rzeczywiste i przeciwnych znaków. W konkluzji wiemy zatem, że równowaga B jest niestabilna (siodło). Poniżej pokazany jest portret fazowy rozpatrywanego układu.

Zadanie 2

Zadanie

Dane jest równanie różniczkowe postaci

-2 x(t)+4 x'(t)-3 x''(t)+Derivative[3][x](t)==0.

(a 4 pkt.) Podaj rzeczywiste rozwiązanie ogólne.

(b 2 pkt.) Pokaż, że zachodzi nierówność |x(t)/(e^t)|≤|(CTraditional[1])|+|(CTraditional[2])|+|(CTraditional[3])|. Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności rozwiązujemy podane równanie różniczkowe. Wypisujemy wielomian charakterystyczny

w(λ)=(λ^3)-3 (λ^2)+4 λ-2=(λ-1) ((λ^2)-2 λ+2)=(λ-1) (λ-(1+i)) (λ-(1-i)).

Mamy trzy wartości własne 1, 1-i, 1+i. Rozwiązania bazowe są zatem postaci (e^t), (e^t) cos(t), (e^t) sin(t). Rzeczywiste rozwiązanie ogólne jest zatem postaci

x(t)=(CTraditional[1]) (e^t)+(CTraditional[2]) (e^t) cos(t)+(CTraditional[3]) (e^t) sin(t).

Aby podać oszacowanie wyrażenia |x(t)/(e^t)| mamy następujący ciąg przekształceń

|((x(t))/(e^t))|=|(((CTraditional[1]) (e^t)+(CTraditional[2]) (e^t) cos(t)+(CTraditional[3]) (e^t) sin(t))/(e^t))|=|(CTraditional[1])+(CTraditional[2]) cos(t)+(CTraditional[3]) sin(t)|≤|(CTraditional[1])|+|(CTraditional[2]) cos(t)|+|(CTraditional[3]) sin(t)|≤|(CTraditional[1])|+|(CTraditional[2])|+|(CTraditional[3])|.

Zadanie 3

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=((3 x)/2)+(y/2)+(z/2)
y'=2 y+z
z'=(x/2)-(y/2)+((5 z)/2)

(a 6 pkt.) Podać ogólne rozwiązanie rzeczywiste.

Rozwiązanie

Macierz współczynników dla powyższego układu wynosi

A=(({{(3/2), (1/2), (1/2)}, {0, 2, 1}, {(1/2), -(1/2), (5/2)}}))

Wielomian charakterystyczny wynosi

w(λ)=-(λ^3)+6 (λ^2)-12 λ+8=-(((λ-2))^3)

skąd mamy  jedną wartość własną λ=2 o krotności algebraicznej 3. Obliczamy wektory własne i serię wektorów związanych z tą wartością własną. Macierz rozszerzona dla zadania własnego wynosi

(({{-(1/2), (1/2), (1/2), 0}, {0, 0, 1, 0}, {(1/2), -(1/2), (1/2), 0}}))∼(({{-1, 1, 1, 0}, {0, 0, 1, 0}, {(1/2), -(1/2), (1/2), 0}}))∼(({{-1, 1, 1, 0}, {0, 0, 1, 0}, {1, -1, 1, 0}}))∼(({{-1, 1, 1, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 2, 0}}))∼(({{-1, 1, 1, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 1, 0}}))∼(({{-1, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}}))

Krotność geometryczna wartości własnej wynosi 1. Jako wektor własny możemy przyjąć wektor (1,1,0). Następnie obliczamy wektory serii. Macierz rozszerzona wygląda tutaj w następujący sposób

(({{-(1/2), (1/2), (1/2), 1}, {0, 0, 1, 1}, {(1/2), -(1/2), (1/2), 0}}))∼(({{-1, 1, 1, 2}, {0, 0, 1, 1}, {(1/2), -(1/2), (1/2), 0}}))∼(({{-1, 1, 1, 2}, {0, 0, 1, 1}, {1, -1, 1, 0}}))∼(({{-1, 1, 1, 2}, {0, 0, 1, 1}, {0, 0, 2, 2}}))∼(({{-1, 1, 1, 2}, {0, 0, 1, 1}, {0, 0, 1, 1}}))∼(({{-1, 1, 0, 1}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 1}}))

Rozwiązanie ogólne jest tutaj postaci

(Subscript[v, 1])=α
(Subscript[v, 2])=1+α
(Subscript[v, 3])=1

Nie dla każdego wyboru α otrzymamy odpowiedni wektor serii, dla którego układ równań w następnym kroku procedury będzie niesprzeczyny. Możemy jednak przyjąć α=1 i jako wektor serii przyjąć (1,2,1). Rozszerzony układ równań w kolejnym kroku procedury wygląda w następujący sposób.

(({{-(1/2), (1/2), (1/2), 1}, {0, 0, 1, 2}, {(1/2), -(1/2), (1/2), 1}}))∼(({{-1, 1, 1, 2}, {0, 0, 1, 2}, {(1/2), -(1/2), (1/2), 1}}))∼(({{-1, 1, 1, 2}, {0, 0, 1, 2}, {1, -1, 1, 2}}))∼(({{-1, 1, 1, 2}, {0, 0, 1, 2}, {0, 0, 2, 4}}))∼(({{-1, 1, 1, 2}, {0, 0, 1, 2}, {0, 0, 1, 2}}))∼(({{-1, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 2}}))

Rozwiązanie ogólne jest tutaj postaci

(Subscript[v, 1])=α
(Subscript[v, 2])=α
(Subscript[v, 3])=2

i jako wektor serii możemy przyjąć wektor (0,0,2). Ostatecznie rozwiązanie ogólne jest postaci

(Subscript[C, 1])(e^(2t))(({{1}, {1}, {0}}))+(Subscript[C, 2])(e^(2t))(t (({{1}, {1}, {0}}))+(({{1}, {2}, {1}})))+(Subscript[C, 3])(e^(2t))((1/2)(t^2) (({{1}, {1}, {0}}))+t (({{1}, {2}, {1}}))+(({{0}, {0}, {2}}))).

Zadanie 4

Zadanie

Preferencja konsumenta są opisane funkcją użyteczności postaci u((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))=A (Subscript[x, 1]^(1/3)) (Subscript[x, 2]^(2/3)), gdzie A>0 jest pewną stałą. Konsument dysponuje bogactwem w>0. Ceny dóbr są zadane jako (Subscript[p, 1])>0 i (Subscript[p, 2])>0.

(a 4 pkt.) Wyznacz popyt konsumenta.

(b 2 pkt.) Ile będzie wynosił popyt konsumenta jeżeli jego bogactwo wzrośnie dwukrotnie?

Rozwiązanie

Musimy rozwiązać zadanie optymalizacji konsumenta. Standardowe rozważania prowadzą do wniosku, że zadanie to można sformułować jako zadanie optymalizacji z ograniczeniem w postaci równości. Tworzymy funkcję Lagrange’a, która jest postaci

ℒ((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))=A (Subscript[x, 1]^(1/3)) (Subscript[x, 2]^(2/3))-λ ((Subscript[p, 1])(Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2])(Subscript[x, 2])-w).

Warunki optymalności pierwszego rządu są tutaj postaci

((∂ℒ)/(∂(Subscript[x, 1])))=A (1/3)(Subscript[x, 1]^(-2/3))(Subscript[x, 2]^(2/3))-λ (Subscript[p, 1])=0
((∂ℒ)/(∂(Subscript[x, 2])))=A (2/3)(Subscript[x, 1]^(1/3))(Subscript[x, 2]^(-1/3))-λ (Subscript[p, 2])=0

Powyższy układ równań przekształcamy do postaci

A (1/3)(Subscript[x, 1]^(-2/3))(Subscript[x, 2]^(2/3))=λ (Subscript[p, 1])
A (2/3)(Subscript[x, 1]^(1/3))(Subscript[x, 2]^(-1/3))=λ (Subscript[p, 2])

i dzieląc stronami otrzymujemy związek

(1/2)(Subscript[p, 2])(Subscript[x, 2])=(Subscript[p, 1])(Subscript[x, 1]).

Wstawiają powyższy związek do ograniczenia budżetowego otrzymujemy rozwiązanie

(Subscript[x, 2])=((2 w)/(3 (Subscript[p, 2]))).

Następnie obliczamy

(Subscript[x, 1])=(w/(3 (Subscript[p, 1]))).

Optymalność powyższego koszyka dóbr można uzasadnić albo korzystając z warunków drugiego rzędu albo z wklęsłości funkcji użyteczności i wypukłości zbioru, na którym przeprowadzana jest optymalizacja.

Jeżeli wielkość bogactwa wzrośnie dwukrotnie to koszyk również wzrośnie dwukrotnie. Wynika to bezpośrednio z uzyskanego wyniku ale można to również argumentować wykorzystując jednorodność pierwszego stopnia funkcji użyteczności. Optymalny koszyk leży na przecięciu proste zadanej parametrycznie jako

s (({{w/(3 (Subscript[p, 1]))}, {2 w/(3 (Subscript[p, 2]))}}))

oraz nowego ograniczenia budżetowego (Subscript[p, 1])(Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2])(Subscript[x, 2])=2 w. Rozwiązanie daje tutaj s=2.

Zadanie 5

Zadanie

Przedsiębiorstwo dysponuje technologią produkcji pewnego dobra opisaną przez funkcję produkcji f(K,L)=A (K^α)(L^(1-α)), gdzie A>0 jest pewną stałą oraz α∈(0,1). Cena dobra na rynku wynosi p, koszt kapitału K to r a pracy L to w.

(a 6 pkt.) Jakie jest optymalny stosunek kapitału do pracy K/L jeżeli firma optymalizuje swój zysk?

Rozwiązanie

Firma optymalizuje swój zysk 𝒫, który jest zadany jako

𝒫=p f(K,L)-r K-w L.

Warunki optymalności pierwszego rzędu są tutaj postaci

((∂𝒫)/(∂K))=α A p (K^(α-1))(L^(1-α))-r=0
((∂𝒫)/(∂L))=(1-α)A p (K^α)(L^(-α))-w=0

Przekształcając powyższy układ do postaci

α A p (K^(α-1))(L^(1-α))=r
(1-α)A p (K^α)(L^(-α))=w

oraz dzieląc stronami otrzymujemy związek postaci

(α/(1-α)) (L/K)=(r/w)

skąd otrzymujemy ostatecznie rozwiązanie

(K/L)=(α/(1-α)) (w/r).