Ekonomia matematyczna / Egzamin / Rozwiązania

2020-06-22 / Termin I

Zadanie 1

Zadanie

Dane jest równanie różniczkowe postaci

-16 x'(t)+14 x''(t)-6 Derivative[3][x](t)+Derivative[4][x](t)+8 x(t)==(t^2)

(a 6 pkt.) Znajdź rzeczywiste rozwiązanie ogólne.

Rozwiązanie

Podane równanie jest równaniem liniowym o stałych współczynnikach niejednorodnym. W pierwszej kolejności rozwiązujemy równanie jednorodne postaci

-16 x'(t)+14 x''(t)-6 Derivative[3][x](t)+Derivative[4][x](t)+8 x(t)==0

Wielomian charakterystycznych jest postaci

w(λ)=(λ^4)-6 (λ^3)+14 (λ^2)-16 λ+8=(((λ-2))^2) (λ-(1+i)) (λ-(1-i))

skąd mamy trzy pierwiastki λ=2 o krotności algebraicznej 2 oraz λ=1±i oba o krotności algebraicznej 1. Konsekwentnie mamy nastepującej rozwiązania bazowe

(e^(2t)), t (e^(2t)), sin(t), cos(t).

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest zatem postaci

x(t)=(CTraditional[3]) (e^(2 t))+(CTraditional[4]) (e^(2 t)) t+(CTraditional[2]) (e^t) cos(t)+(CTraditional[1]) (e^t) sin(t).

Rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego poszukujemy w postaci

u(t)=a (t^2)+b t+c.

Wstawiając u(t) do równania niejednorodnego otrzymujemy

8 (a (t^2)+b t+c)-16 (2 a t+b)+28 a=(t^2).

Z powyższego otrzymujemy układ równań postaci

28 a-16 b+8 c==0
8 b-32 a==0
8 a==1

co daje rozwiązanie postaci

a=(1/8),b=(1/2),c=(9/16).

Ostatecznie, całość rozwiązania jest postaci

x(t)=(1/16) (2 (t^2)+8 t+9)+(CTraditional[3]) (e^(2 t))+(CTraditional[4]) (e^(2 t)) t+(CTraditional[2]) (e^t) cos(t)+(CTraditional[1]) (e^t) sin(t).

Zadanie 2

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=(x^4)+(y^2)-1
y'=(x^3)-y

(a 3 pkt.) Wyznaczyć liczbę wszystkich równowag. Odpowiedź uzasadnić.

(b 3 pkt.) Zbadać stabilność wszystkich równowag. Odpowiedź uzasadnić.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy liczbę równowag podanegu układu. Mamy układ postaci

(x^4)+(y^2)-1==0,
(x^3)-y==0.

Z drugiego równania wyznaczmy y i wstawiamy do pierwszego równania otrzymując

(x^6)+(x^4)-1==0.

Niech h(x)=(x^6)+(x^4)-1. Funkcja h jest ciągła i parzysta a więc jeżeli posiada miejsca zerowe to muszą być one symetryczne względem 0. Dodatkowo, h(0)=-1 oraz (lim_(|x|->∞))h(x)=∞ a więc wiemy, że istnieje parzysta liczba miejsc zerowych. Jeżeli policzymy pochodną h'(x) to otrzymamy h'(x)=6 (x^5)+4 (x^3). Dla x>0 pochodna h'(x)>0 a wiec w tym obszarze funkcja jest ściśle rosnąca. Dla x<0 pochodna h'(x)<0 a więc w tym obszarze funkcja jest ściśle malejąca. Konsekwentnie mamy dokładnie dwa miejsca zerowe, symetryczne względem 0. Oznaczmy je przez (Subscript[x, L])<0 i (Subscript[x, R])>0, gdzie oczywiście |(Subscript[x, L])|=|(Subscript[x, R])|.

Ponieważ w równowadze mamy y=(x^3) a więc mamy dokładnie dwie równowagi, które są symetrczne względem punktu (0,0).

Aby sprawdzić stabilność równowag obliczamy w pierwszej kolejności linearyzację J układu równań  otrzymując

J=(({{4 (x^3), 2 y}, {3 (x^2), -1}})).

Wyznacznik det(J) w równowadze jest postaci det(J)=-6 (x^5)-4 (x^3). Wyrażenie to dla (Subscript[x, R]) jest ujemne. Oznacza to, że wartości własne są rzeczywiste i różnych znaków. Zatem równowaga ((Subscript[x, R]),(Subscript[x, R]^3)) jest niestabilna (siodło). Dla (Subscript[x, L]) wyznacznik jest dodatni. W takiej sytuacji obliczamy ślad macierzy otrzymując tr(J)=4 (x^3)-1. Wyrażenie dla (Subscript[x, L]) jest ujemne. Zatem, jeżeli wartości własne w równowadze ((Subscript[x, L]),(Subscript[x, L]^3)) są rzeczywiste to muszą być tego samego znaku i obie muszą być ujemne. Jeżeli są zepolone to jest to para sprzężona o części rzeczywistej ujemnej. Zatem równowaga ta jest asymptotycznie stabilna.

Portret fazowy wraz z konturami jest przedstawiony na poniższym wykresie.

Zadanie 3

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=(1/2) (a+2) x+(1/2) (a-2) y+(1-(a/2)) z,
y'=(1/2) (a-1) x+(1/2) (a+1) y+(1/2) (1-a) z,
z'=(x/2)-(y/2)+((3 z)/2),

gdzie zakładamy, że parametr a∈ℝ i a≠1 i a≠2.

(a 6 pkt.) Podać ogólne rozwiązanie rzeczywiste. Odpowiedź uzasadnić.

Rozwiązanie

Macierz współczynników dla powyższego układu wynosi

A=(({{((a+2)/2), ((a-2)/2), 1-(a/2)}, {((a-1)/2), ((a+1)/2), ((1-a)/2)}, {(1/2), -(1/2), (3/2)}})).

Wielomian charakterystyczny wynosi

w(λ)=a (λ^2)-3 a λ+2 a-(λ^3)+3 (λ^2)-2 λ=(λ-2) (λ-1) (a-λ).

Mamy zatem trzy wartości własne bo z założenia a≠1∧a≠2, każda o krotności algebraicznej 1 i konsekwentnie krotności geometrycznej 1.

Obliczamy wektor własny dla wartości własnej λ=1. Macierz współczynników zagadnienia własnego jest postaci

(({{(a/2), (a/2)-1, 1-(a/2)}, {(a/2)-(1/2), (a/2)-(1/2), (1/2)-(a/2)}, {(1/2), -(1/2), (1/2)}}))∼(({{a, 2 ((a/2)-1), 2 (1-(a/2))}, {2 ((a/2)-(1/2)), 2 ((a/2)-(1/2)), 2 ((1/2)-(a/2))}, {1, -1, 1}}))∼(({{a, a-2, 2-a}, {a-1, a-1, 1-a}, {1, -1, 1}}))∼(({{a, a-2, 2-a}, {a, a-2, 2-a}, {1, -1, 1}}))∼(({{a, a-2, 2-a}, {0, 0, 0}, {1, -1, 1}}))∼(({{0, 2 a-2, 2-2 a}, {0, 0, 0}, {1, -1, 1}}))∼(({{0, -1, 1}, {0, 0, 0}, {1, -1, 1}}))∼(({{0, -1, 1}, {0, 0, 0}, {1, 0, 0}})).

W powyższych przekształceniach wykorzystaliśmy założenie, że a≠1. Rozwiązanie ogólne jest postaci

(Subscript[v, 1])=0
(Subscript[v, 2])=α
(Subscript[v, 3])=α

a zatem jako wektor własny możemy przyjąć wektor postaci v=(0,1,1).

Następnie obliczamy wektor własny dla wartości własnej λ=2. Macierz współczynników zaganienia własnego jest postaci

(({{(a/2)-1, (a/2)-1, 1-(a/2)}, {(a/2)-(1/2), (a/2)-(3/2), (1/2)-(a/2)}, {(1/2), -(1/2), -(1/2)}}))∼(({{a-2, a-2, 2-a}, {a-1, a-3, 1-a}, {1, -1, -1}}))∼(({{a, a-4, -a}, {a-1, a-3, 1-a}, {1, -1, -1}}))∼(({{a, a-4, -a}, {a, a-4, -a}, {1, -1, -1}}))∼(({{a, a-4, -a}, {0, 0, 0}, {1, -1, -1}}))∼(({{0, 2 a-4, 0}, {0, 0, 0}, {1, -1, -1}}))∼(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {1, -1, -1}}))∼(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {1, 0, -1}}))

W powyższych przekształceniach wykorzystaliśmy założenie, że a≠2. Rozwiązanie ogólne jest postaci

(Subscript[v, 1])=α
(Subscript[v, 2])=0
(Subscript[v, 3])=α

a zatem jako wektor własny możemy przyjąć v=(1,0,1).

Ostatecznie obliczamy wektor własny dla wartości własnej λ=a. Macierz współczynników zagadnienia własnego jest postaci

(({{1-(a/2), (a/2)-1, 1-(a/2)}, {(a/2)-(1/2), (1/2)-(a/2), (1/2)-(a/2)}, {(1/2), -(1/2), (3/2)-a}}))∼(({{2-a, a-2, 2-a}, {a-1, 1-a, 1-a}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{2-a, a-2, 2-a}, {a, -a, 4-3 a}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{-a, a, -2 (3-2 a)-a+2}, {a, -a, 4-3 a}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{-a, a, 3 a-4}, {a, -a, 4-3 a}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{-a, a, 3 a-4}, {0, 0, 0}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{0, 0, (3-2 a) a+3 a-4}, {0, 0, 0}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{0, 0, -2 ((a^2)-3 a+2)}, {0, 0, 0}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{0, 0, -2}, {0, 0, 0}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {1, -1, 3-2 a}}))∼(({{0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {1, -1, 0}}))

W powyższych przekształceniach wykorzystaliśmy założenie a≠1∧a≠2. Rozwiązanie ogólne jest postaci

(Subscript[v, 1])=α
(Subscript[v, 2])=α
(Subscript[v, 3])=0

a zatem jako wektor własny możemy przyjąć wektor postaci v=(1,1,0).

Ostatecznie rzeczywiste rozwiązanie ogólne jest postaci

𝕩=(Subscript[c, 1])(({{0}, {1}, {1}})) (e^t)+(Subscript[c, 2])(({{1}, {0}, {1}})) (e^(2 t))+(Subscript[c, 2])(({{1}, {1}, {0}})) (e^(a t)).

Uwagi obliczeniowe. Może się wydawać, że powyższe zadanie jest obliczeniowo skomplikowane ale tak w istocie nie jest. Obliczanie wektorów własnych jest pokazane w detalach powyżej ale oczywiście pozostaje jeszcze obliczenie wartości własnych. Poniżej jest pokazane jak można to zrobić w efektywny sposób.

Aby wyznaczyć wartości własne musimy obliczyć następujący wyznacznik

det(({{(a/2)-λ+1, (a/2)-1, 1-(a/2)}, {(a/2)-(1/2), (a/2)-λ+(1/2), (1/2)-(a/2)}, {(1/2), -(1/2), (3/2)-λ}}))

Wyzncznik ten można obliczyć bezpośrednio, co jest relatywnie skomplikowane, ale można w pierwszej kolejności nieco uprościć powyższą macierz. Jako pierwszy krok pomnożymy macierz przez 2 co mnoży wyznacznik przez (2^3)=8 ale albo możemy uzyskany na końcu wynik pomnożyć przez 1/8 albo w ogóle tego nie robić bo interesują nas tylko pierwiastki wyznacznika na co skalowanie nie ma wpływu. Po przemnożeniu dostajemy następującą macierz.

(({{a-2 λ+2, a-2, 2-a}, {a-1, a-2 λ+1, 1-a}, {1, -1, 3-2 λ}}))

Działanie pomnożenia danego wiersza przez skalar i dodania do innego wiersza nie zmienia wartości wyznacznika. Możemy zatem poprzez proste działania elementarne na wierszach macierzy wyzerować np. drugą kolumnę poza jej ostatnim elementem. Wykonujemy zatem następujące operacje elementarne.

(({{a-2 λ+2, a-2, 2-a}, {a-1, a-2 λ+1, 1-a}, {1, -1, 3-2 λ}}))∼(({{a-2 λ+2, a-2, 2-a}, {2 a-2 λ, 0, (3-2 λ) (a-2 λ+1)-a+1}, {1, -1, 3-2 λ}}))∼(({{2 a-2 λ, 0, (a-2) (3-2 λ)-a+2}, {2 a-2 λ, 0, (3-2 λ) (a-2 λ+1)-a+1}, {1, -1, 3-2 λ}})).

Obliczenie wyznacznika teraz sprowadza się do prostego obliczenia.

det(({{2 a-2 λ, 0, (a-2) (3-2 λ)-a+2}, {2 a-2 λ, 0, (3-2 λ) (a-2 λ+1)-a+1}, {1, -1, 3-2 λ}}))
=(2 a-2 λ)((3-2 λ) (a-2 λ+1)-a+1)-(2 a-2 λ)((a-2) (3-2 λ)-a+2)
=2 (a-λ) (((3-2 λ) (a-2 λ+1)-a+1)-((a-2) (3-2 λ)-a+2))
=2 (a-λ) (4 (λ^2)-12 λ+8)
=8 (a-λ) ((λ^2)-3 λ+2).

Drugi z czynników jest wielomianem kwadratowym, który nie zależy od parametru a i można go łatwo faktoryzować do postaci (λ-1) (λ-2). Ostatecznie zatem wielomian charakterystyczny jest postaci

w(λ)=(λ-2) (λ-1) (a-λ)

gdzie całość podzieliliśmy przez 8. Jak widać, obliczenia samego wyznacznika oraz faktoryzacja są relatywnie proste.

Zadanie 4

Zadanie

Rozważamy sytuację firmy na rynku doskonale konkurencyjnym, gdzie analizujemy jedynie dwa dobra x i y w cenach 1 i 2 odpowiednio. Zbiór dopuszczalnych planów produkcyjnych jest zdefiniowany jako

F={(x,y):f(x,y)≤0},

gdzie

f(x,y)=x+(e^(y-1))-(1/e).

(a 6 pkt.) Jaki jest optymalny plan produkcyjny firmy? Odpowiedź uzasadnij obliczeniami włączając w to warunki drugiego rzędu.

Rozwiązanie

Niech p oznacza wektor cen dóbr a więc p=(1,2). Zysk przedsiębiorstwa jest więc zadany wzorem

𝒫(x,y)=⟨(x,y)|p⟩=x+2 y.

Firma maksymalizuje zysk ale może poruszać się jedynie w zbiorze dopuszczalnych planów produkcyjnych a więc jej zadanie optymalizacyjne jest postaci

(max_((x,y)∈F)) 𝒫(x,y).

Ponieważ gradient funkcji zysku grad 𝒫=p≠0 więc nie nie istnieje maksimum we wnętrzu zbioru F a więc możemy zamienić zadanie optymalizacji z ograniczeniem w postaci nierówności na zadanie z ograniczeniem równościowym (tw. Kuhn-Tucker). Funkcja Lagrange’a dla tego zadania wygląda w nastepujący sposób

ℒ=𝒫-λ f=x+2 y-λ(x+(e^(y-1))-(1/e)).

Warunki pierwszego rzędu są tutaj postaci

1-λ==0,
2-λ (e^(y-1))==0,
x+(e^(y-1))-(1/e)==0

Rozwiązanie powyższego układu równań daje

x=((1-2 e)/e),
y=1+log(2),
λ=1.

Aby sprawdzić warunki drugiego rzędu obliczamy macierz Jacobiego J

J(x,y)=(({{0, 0}, {0, λ (-(e^(y-1)))}}))

W punkcie podejrzanym o maksimum macierz Jacobiego jest postaci

(SuperStar[J])=(({{0, 0}, {0, -2}})).

Jest to macierz określona półujemnie. Należy sprawdzić jej określoność na przestrzeni stycznej do ograniczenia. Gradient ograniczenia w punkcie podejrzanym o maksimum jest postaci grad f=(1,2) a więc baza przestrzeni (ortogonalna do tego wektora) może być postaci (-2,1). Sprawdzamy znak macierzy (SuperStar[J]) na bazie przestrzeni stycznej co daje

(-2,1)·(({{0, 0}, {0, -2}}))·(({{-2}, {1}}))=-2<0

a więc jest ona określona ujemnie i konsekwentnie znaleziony punkt jest maksimum.

Zadanie 5

Zadanie

Bank udzielił klientowi kredytu w kwocie K na n okresów ze stopą oprocentowania δ>0. Klient po każdym okresie zobowiązany jest spłacić ratę odsetkową oraz kapitałową. Zakładamy, że rata odsetkowa pokrywa całość naliczonych odsetek w ciągu okresu a raty kapitałowe są stałe przez całość trwania kretydu. Na rynku obowiązuje stopa procentowa r>0.

(a 2 pkt.) Ile powinna wynosić rata kapitałowa, jeżeli całość kapitału jest spłacana po dokładnie n okresach? Odpowiedź uzasadnić obliczeniami.

(b 4 pkt.) Jaka jest wartość zysku 𝒫 banku z tytułu rat odsetkowych z udzielenia takiego kredytu na datę udzielenia kredytu (wartość bieżąca)? Proszę podać zamknięty wzór (nie w postaci sumy).

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności musimy prześledzić jak zachowuje się wielkość kapitału pozostałego do spłacenia. W chwili 0 klient otrzymuje kapitał w wysokości K. Po pierwszym okresie naliczone odsetki wynoszą δ K i to jest wielkość pierwszej raty odsetkowej. Oprócz tego, klient spłaca ratę kapitałową w wysokości k. Zatem po pierwszej spłacie wielkość pozostałego kapitału do spłacenia wynosi

(Subscript[K, 1])=(1+δ)K-δ K-k=K-k.

W drugim okresie sytuacja powtarza się przy czym odsetki naliczane są jedynie od pozostałego kapitało a więc rata odsetkowa będzie mniejsza w wysokości δ(K-k) a rata kapitałowa będzie stała, zgodnie z założeniem. Pozostały kapitał będzie więc wynosił

(Subscript[K, 2])=(1+δ)(Subscript[K, 1])-δ (Subscript[K, 1])-k=(Subscript[K, 1])-k=K-2k.

Powtarzając to rozumowanie otrzymujemy (Subscript[K, n])=K-n k. Jeżeli pozostały kapitał po n okresach ma wynosić 0 a więc (Subscript[K, n])=0 więc otrzymujemy

K-n k=0
k=(K/n).

A zatem, przy stałej racie kapitałowej, jej wielkość powinna wynosić K/n.

Aby zobaczyć jaka jest wartość bieżąca sumy spłaconych odsetek, musimy zobaczyć jak wygląda wielkość raty odsetkowej po każdym okresie. Jest to oczywiście po pierwszym okresie δ K, po drugim okresie δ (Subscript[K, 1])=δ(K-k), po trzecim okresie δ (Subscript[K, 2])=δ(K-2k) itd. Każdy z tych elementów sumy należy zdyskontować stopą rynkową na chwilę udzielenia kredytu a więc po pierwszym okresie czynnikiem 1/(1+r), po drugim okresie 1/(((1+r))^2), itd. Otrzymujemy więc sumę postaci

𝒫=(∑_(j=1)^n)((δ (K-(j-1) k))/(((1+r))^j))=((δ (((r+1))^(-n)) (-k (((r+1))^n)+k n r+k+K r (((r+1))^n)-K r))/(r^2))

Jeżeli weźmiemy pod uwagę, że k=K/n to otrzymamy

𝒫=((δ K ((((r+1))^(-n))+n r-1))/(n (r^2))).