Ekonomia matematyczna / Egzamin / Rozwiązania

2020-02-21 / Termin II

Zadanie 1

Zadanie

Dane jest równanie różniczkowe postaci

Derivative[3][x](t)+8 x''(t)+21 x'(t)+18 x(t)==t

(a 5 pkt.) Podaj rzeczywiste rozwiązanie ogólne.

(b 1 pkt.) Oblicz granicę (lim_(t->∞))x(t)/t.

Rozwiązanie

Podane równanie jest równaniem liniowym o stałych współczynnikach niejednorodnym. W pierwszej kolejności rozwiązujemy równanie jednorodne postaci

Derivative[3][x](t)+8 x''(t)+21 x'(t)+18 x(t)==0.

Wielomian charakterystycznych jest postaci

w(λ)=(λ^3)+8 (λ^2)+21 λ+18=(λ+2) (((λ+3))^2)

skąd mamy dwa pierwiastki λ=-3 o krotności algebraicznej 2 oraz λ=-2 o krotności algebraicznej 1. Konsekwentnie mamy nastepującej rozwiązania bazowe

(e^(-3 t)),t (e^(-3 t)),(e^(-2 t)).

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest zatem postaci

x(t)=(Subscript[C, 1])(e^(-3 t))+(Subscript[C, 2])t (e^(-3 t))+(Subscript[C, 3])(e^(-2 t)).

Rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego poszukujemy w postaci

u(t)=a + b t.

Wstawiając u(t) do równania niejednorodnego otrzymujemy

18 (a+b t)+21 b=t.

Z powyższego otrzymujemy układ równań postaci

18 a+21 b==0,
18 b==1

co daje

a=-(7/108)
b=(1/18)

Ostatecznie, całości rozwiązania jest postaci

x(t)=(CTraditional[1]) (e^(-3 t))+(CTraditional[2]) (e^(-3 t)) t+(CTraditional[3]) (e^(-2 t))+(1/108) (6 t-7).

Obliczając granicę otrzymujemy

(lim_(t->∞)) ((x(t))/t)=(lim_(t->∞)) (((CTraditional[1]) (e^(-3 t))+(CTraditional[2]) (e^(-3 t)) t+(CTraditional[3]) (e^(-2 t))+(1/108) (6 t-7))/t)=(1/18).

Zadanie 2

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=((x^2)/4)+(y^2)-1
y'=x-(y^3)

(a 3 pkt.) Wyznaczyć liczbę wszystkich równowag. Odpowiedź uzasadnić.

(b 3 pkt.) Zbadać stabilność wszystkich równowag.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy liczbę równowag podanegu układu. Mamy układ postaci

((x^2)/4)+(y^2)-1==0
x-(y^3)==0

Z drugiego równania wyznaczmy x i wstawiamy do pierwszego równania otrzymując

h(y)=((y^6)/4)+(y^2)-1.

Funkcja h jest ciągła oraz h(0)=-1<0. Wiemy, że

(lim_(y->-∞))h(y)=(lim_(y->∞))h(y)=+∞

a zatem mamy co najmniej jedną równowagę na przedziale (-∞,0) oraz co najmniej jedną równowagę na przedziale (0,++∞).

Pochodna h' jest postaci

h'(y)=((3 (y^5))/2)+2 y.

Dla y>0 pochodna ta jest ściśle dodatnia a więc h jest ściśle rosnąca na przedziale (0,+∞) a zatem jest tam dokładnie jedna równowaga. Dla y<0 pochodna h' jest ujemna a więc h jest ściśle malejąca na przedziale (-∞,0) a zatem jest tam dokładniej jedna równowaga. Konkludując mamy dokładnie dwie równowagi. Dodatkowo, ponieważ w równowadze zachodzi x=(y^3) więc w każdej równowadze obie współrzędne mają ten sam znak.

Aby sprawdzić stabilność tych równowag obliczamy linearyzację układu otrzymując

J=(({{(x/2), 2 y}, {1, -3 (y^2)}}))

Obliczając ślad i wyznacznik macierzy linearyzacji otrzymujemy

tr(J)=(x/2)-3 (y^2)
det(J)=-(1/2) y (3 x y+4)

Dla y>0 wyznacznik jest ujemny (x i y muszą być tych samych znaków w równowadze). Konsekwentnie, wartości własne macierzy J muszą być rzeczywiste oraz przeciwnych znaków. Konsekwentnie taka równowaga jest niestabilna (siodło).

Dla y<0 wyznacznik jest dodatni a ślad jest ujemny. Wiemy zatem, że jeżeli wartości własne są rzeczywiste to muszą być obie ujemne. Jeżeli wartości własne są zespolone to muszę być sprzężone oraz ich część rzeczywista jest ujemna. Konkludując, równowaga jest stabilna.

Portret fazowy wraz z konturami jest przedstawiony na poniższym wykresie.

Zadanie 3

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=2 x
y'=-x+2 y+z
z'=3 z-x

(a 6 pkt.) Podać ogólne rozwiązanie rzeczywiste.

Rozwiązanie

Macierz współczynników dla powyższego układu wynosi

A=(({{2, 0, 0}, {-1, 2, 1}, {-1, 0, 3}}))

Wielomian charakterystyczny wynosi

w(λ)=-(λ^3)+7 (λ^2)-16 λ+12=-(λ-3) (((λ-2))^2)

skąd mamy dwie wartości własne λ=2 o krotności algebraicznej 2 oraz λ=3 o krotności algebraicznej 1. Obliczamy wartości własne. Macierz dla zadania własnego dla λ=2 wynosi

(({{0, 0, 0}, {-1, 0, 1}, {-1, 0, 1}}))∼(({{0, 0, 0}, {-1, 0, 1}, {0, 0, 0}}))

Zbiór rozwiązań jest tutaj dwuwymiarowy a więc krotność geometryczna wartości własnej λ=2 również wynosi 2. Możemy zatem wybrać dwa wektory własne, które są liniowo niezależne. Przykładowo, może to być wektor (1,0,1) oraz wektor (0,1,0).

Macierz dla zadania własnego dla λ=3  jest postaci

(({{-1, 0, 0}, {-1, -1, 1}, {-1, 0, 0}}))∼(({{1, 0, 0}, {0, -1, 1}, {0, 0, 0}}))

Jako wektor własny możemy przyjąć (0,1,1).

Rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych jest zatem postaci

(({{x}, {y}, {z}}))=(Subscript[C, 1])(({{1}, {0}, {1}}))(e^(2 t))+(Subscript[C, 2])(({{0}, {1}, {0}}))(e^(2 t))+(Subscript[C, 3])(({{0}, {1}, {1}}))(e^(3 t)).

Zadanie 4

Zadanie

Rozważamy hipotetyczny produkt finansowy, który po pierwszym roku wypłaca kwotę K, po drugim roku wypłaca kwotę K itd. aż do nieskończoności. Zakładamy, że ścieżka stóp procentowych wynosi: w pierwszym roku r, w drugim roku r/2, w trzecim roku r/3 itd. aż do nieskończoności. Zakładamy, że stopa procentowa r∈(0,1).

(a 6 pkt.) Jaka byłaby hipotetyczna cena takiego produktu przy założonej ścieżce stopy procentowej? Odpowiedź uzasadnij obliczeniami.

Uwaga: W rozwiązaniu można wykorzystać notację (tzw. symbol Pochhammer’a)

(Subscript[(a), n])=a (a+1) … (a+n-1).

Uwaga: W rozwiązaniu można wykorzystać kryterium zbieżności szeregów liczbowych Raabe-Duhamel. Jeżeli dany jest szereg liczbowy liczb nieujemnych postaci (∑_(n=1)^∞)(Subscript[a, n]) to jeżeli istnieje granica postaci

g=(lim_(n->∞))n (((Subscript[a, n])/(Subscript[a, n+1]))-1)

wtedy szereg jest zbieżny jeżeli g>1 oraz rozbieżny jeżeli g<1.

Rozwiązanie

Hipotetyczna cena rozważanego produktu powinna być równa jego wartości bieżącej PV. W celu jej obliczenia należy zatem zdyskontować ciąg płatności zgodnie z podaną ścieżką stóp procentowych. Pierwsza płatność następuje po roku i powinna być dyskontowana stopą procentową r co daje

(K/(1+r)).

Druga płatność następuję po dwóch lata i powinna być zdyskontowana przez jednej rok stopą r/2 i przez jeden rok stopą r co daje

(K/((1+r) (1+r/2))).

Kolejne płatności dyskontuje się analogicznie co daje następującą wartość bieżącą

PV=(∑_(n=1)^∞)K·(∏_(k=1)^n)(1/((1+r/k))).

Powyższa suma może zostać łatwo zapisana z wykorzystaniem notacji (Subscript[(a), n]). Mamy bowiem

(∏_(k=1)^n)(1/((1+r/k)))=((n!)/(Subscript[(1+r), n]))

a zatem cały szereg jest postaci

PV=(∑_(n=1)^∞)((K n)/(Subscript[(1+r), n])).

W następnej kolejności należy sprawdzić czy tak zdefiniowany szereg jest zbieżny. Można tutaj wykorzystać podane powyżej kryterium zbieżności. Daje to nam następującą granicę

g=(lim_(n->∞)) n (((n! (Pochhammer[r+1, n+1]))/((n+1)! (Pochhammer[r+1, n])))-1)=(lim_(n->∞)) ((n r)/(n+1))=r<1

a więc zgodnie z kryterium, jest to szereg rozbieżny. Jego hipotetyczna cena powinna być nieskończona.

Zadanie 5

Zadanie

Preferencje konsumenta są zadane funkcją użyteczności u(x)=(Subscript[x, 1])+(Sqrt[(Subscript[x, 2])]). Ceny dóbr to odpowiednio (Subscript[p, 1])>0 i (Subscript[p, 2])>0 a konsument ma do dyspozycji bogactwo w>0.

(a 4 pkt.) Znaleźć popyt konsumenta na dobra (Subscript[x, 1]) i (Subscript[x, 2]).

(b 2 pkt.) Sprawdzić warunki optymalności drugiego rzędu.

Rozwiązanie

Jest to typowe zadanie optymalizacji z ograniczeniami (i można je ze standardowych przyczyn zamienić na zadanie optymalizacji z ograniczeniem w postaci równości). Funkcja Lagrange’a jest tutaj postaci

ℒ=(Subscript[x, 1])+(Sqrt[(Subscript[x, 2])])-λ ((Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])-w).

Warunkie pierwszego rzędu są postaci

1-λ (Subscript[p, 1])==0
(1/(2 (Sqrt[(Subscript[x, 2])])))-λ (Subscript[p, 2])==0
(Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])-w==0

a jedyne rozwiązanie jest postaci

(Subscript[x, 1])=((4 (Subscript[p, 2]) w-((Subscript[p, 1])^2))/(4 (Subscript[p, 1]) (Subscript[p, 2])))
(Subscript[x, 2])=(((Subscript[p, 1])^2)/(4 ((Subscript[p, 2])^2)))
λ=(1/(Subscript[p, 1]))

Aby sprawdzić warunek drugiego rzędu wyznaczmy bazę przestrzeni stycznej do ograniczej, która tutaj jest prosta i dane przez wektor (przykładowo) v=(-(Subscript[p, 2]),(Subscript[p, 1])). Następnie wyznaczamy macierz Jacobiego, która jest postaci

J=(({{0, 0}, {0, -(1/(4 ((Subscript[x, 2])^(3/2))))}}))

Sprawdzamy warunek na ujemną oznaczoność powyższej formy kwadratowej co daje

(v^T)·J·v=-(((Subscript[p, 1])^2)/(4 ((Subscript[x, 2])^(3/2))))<0

a więc istotnie znaleziony punkt podejrzany o ekstremum jest maksimum.