Ekonomia matematyczna / Egzamin / Rozwiązania

2020-01-30 / Termin I

Zadanie 1

Zadanie

Dane jest równanie różniczkowe postaci

Derivative[3][x](t)-((13 x''(t))/12)+((3 x'(t))/8)-((x(t))/24)==cos(t)

(a) Podaj rzeczywiste rozwiązanie ogólne.

Rozwiązanie

Podane równanie jest równaniem liniowym o stałych współczynnikach niejednorodnym. W pierwszej kolejności rozwiązujemy równanie jednorodne postaci

Derivative[3][x](t)-((13 x''(t))/12)+((3 x'(t))/8)-((x(t))/24)==0.

Wielomian charakterystycznych jest postaci

w(λ)=(λ^3)-((13 (λ^2))/12)+((3 λ)/8)-(1/24)=(1/24) (2 λ-1) (3 λ-1) (4 λ-1)

skąd mamy trzy pierwiastki λ=1/2, λ=1/3, λ=1/4, wszystkie o krotności algebraicznej 1. Konsekwentnie mamy nastepującej rozwiązania bazowe

(e^(t/2)),(e^(t/3)),(e^(t/4)).

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest zatem postaci

x(t)=(Subscript[C, 1])(e^(t/2))+(Subscript[C, 2])(e^(t/3))+(Subscript[C, 3])(e^(t/4)).

Rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego poszukujemy w postaci

u(t)=a sin(t)+b cos(t).

Wstawiając u(t) do równania niejednorodnego otrzymujemy

(3/8) ((a sin(t)+b cos(t)))'(t)-(13/12) ((a sin(t)+b cos(t)))''(t)-(1/24) (a sin(t)+b cos(t))(t)+Derivative[3][(a sin(t)+b cos(t))](t)==cos(t)

co po uproszczeniach daje

-(5/24) ((3 a-5 b) cos(t)-(5 a+3 b) sin(t))==cos(t)

Z powyższego otrzymujemy układ równań postaci

-(5/24) (3 a-5 b)==1
(5/24) (5 a+3 b)==0

co daje

a=-(36/85)
b=(12/17)

Ostatecznie, całości rozwiązania jest postaci

x(t)=(Subscript[C, 1])(e^(t/2))+(Subscript[C, 2])(e^(t/3))+(Subscript[C, 3])(e^(t/4))-(36/85)sin(t)+(12/17)cos(t).

Zadanie 2

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=(x^2)+(y^2)-1
y'=y-(x^3)

(a 3 pkt.) Wyznaczyć liczbę wszystkich równowag. Odpowiedź uzasadnić.

(b 3 pkt.) Zbadać stabilność wszystkich równowag.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy liczbę równowag podanegu układu. Mamy układ postaci

(x^2)+(y^2)-1==0
y-(x^3)==0

skąd otrzymujemy

(x^6)+(x^2)-1==0.

Niech f(x)=(x^6)+(x^2)-1. Nie ulega wątpliwości, że f(0)<0 oraz, że funkcja ta jest ciągła. Dodatkowo wiemy, że (lim_(x->-∞))f(x)=(lim_(x->∞))f(x)=+∞ więc funkcja ta ma co najmniej dwa miejsca zerowe, które są symetryczne. Jeżeli popatrzymy na f' to otrzymujemy f'(x)=2 x (3 (x^4)+1) a więc dla x>0 zachodzi f'(x)>0 oraz podobnie dla x<0 mamy f'(x)<0. Konkludując mamy dokładnie dwie równowagi, dla których współrzędne x są symetryczne. Warto również zauważyć, że ponieważ y=(x^3) a więc znaki obu współrzędnych równowag są identyczne.

Aby sprawdzić stabilność tych równowag obliczamy linearyzację układu otrzymując

J=(({{2 x, 2 y}, {-3 (x^2), 1}})).

Obliczając ślad i wyznacznik macierzy linearyzacji otrzymujemy

tr(J)=2 x+1
det(J)=2 x (3 x y+1)

Jeżeli w równowadze mamy x>0 to zarówno ślad jak i wyznacznik są dodatnie a więc obie części rzeczywiste wartości własnych są dodatnie i konsekwentnie równowaga jest niestabilna. Jeżeli x<0 to wyznacznik ma wartość ujemną a więc wartości własne sa rzeczywiste i różnych znaków. Konsekwentnie równowaga jest siodłem i też jest niestabilna. Portret fazowy jest pokazany poniżej.

Zadanie 3

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

x'=2 z-y
y'=-x+y+z
z'=-x-y+3 z

(a 6 pkt.) Podać ogólne rozwiązanie rzeczywiste.

Rozwiązanie

Macierz współczynników dla powyższego układu wynosi

A=(({{0, -1, 2}, {-1, 1, 1}, {-1, -1, 3}}))

Wielomian charakterystyczny wynosi

w(λ)=-(λ^3)+4 (λ^2)-5 λ+2=-(λ-2) (((λ-1))^2)

skąd mamy dwie wartości własne λ=1 o krotności algebraicznej 2 oraz λ=2 o krotności algebraicznej 1. Obliczamy wartości własne. Macierz dla zadania własnego dla λ=-1 wynosi

(({{-1, -1, 2}, {-1, 0, 1}, {-1, -1, 2}}))∼(({{-1, 0, 1}, {0, 1, -1}, {0, 0, 0}}))

Jako wektor własny możemy przyjąć wektor (1,1,1).

Ponieważ wartość własna ma krotność algebraiczną 2 oraz krotność geometryczną 1 więc należy obliczyć wektor serii. Mamy

(({{-1, -1, 2, 1}, {-1, 0, 1, 1}, {-1, -1, 2, 1}}))∼(({{1, 0, -1, -1}, {0, 1, -1, 0}, {0, 0, 0, 0}}))

Jako wektor serii możemy przyjąć (-1,0,0).

Macierz dla zadania własnego dla λ=2 macierz zadania własnego jest postaci

(({{-2, -1, 2}, {-1, -1, 1}, {-1, -1, 1}}))∼(({{0, 1, 0}, {-1, 0, 1}, {0, 0, 0}}))

Jako wektor własny możemy przyjąć (1,0,1).

Rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych jest zatem postaci

(({{x}, {y}, {z}}))=(Subscript[C, 1])(({{1}, {1}, {1}}))(e^t)+(Subscript[c, 2])(t (({{1}, {1}, {1}}))+(({{-1}, {0}, {0}})))(e^t)+(Subscript[C, 3])(({{1}, {0}, {1}}))(e^(2t)).

Zadanie 4

Zadanie

Firma dostała zlecenie na produkcję jachtu. Kontrakt przewiduje zaliczkę w wysokości z płatną przed rozpoczęciem produkcji. Całość produkcji trwa 12 miesięcy. Praca kosztuje l miesięcznie i jest płatna na koniec miesiąca. Materiały do produkcji kupuje się w dwóch transzach. Pierwsza przez rozpoczęciem produkcji, która kosztuje a oraz druga po 6 miesiącach (płatności na koniec 6 miesiąca) produkcji, która kosztuje b. Po zakończeniu produkcji kontrahent płaci resztę ceny jachtu w wysokości p. Nominalna roczna stopa procentowa wynosi r.

(a 3 pkt.) Jaki jest zysk producenta jachtu?

(b 3 pkt.) Jeżeli stopy procentowe są bardzo niskie, r≈0, to jak wygląda prosty warunek na rentowność producenta? Odpowiedź uzasadnij obliczeniami.

Rozwiązanie

Zysk producenta jachtu obliczymy na początek zadania a więc przed rozpoczęciem budowy jachtu. Jeżeli roczna nominalna stopa procentowa wynosi r to miesięczna nominalna stopa procentowa wynosi r/12 a czynnik doskontujący d wynosi

d=(1/(1+r/12)).

Przychody producenta to oczywiście zaliczka oraz końcowa płatności. Wartości dzisiejsza takiego strumienia wynosi

z+p·(d^12).

Koszty producenta to oczywiście koszty materiałów oraz koszt pracy co po zdyskontowaniu daje

a+b·(d^6)+(∑_(t=1)^12)l·(d^t)=a+b·(d^6)+l·(∑_(t=1)^12)(d^t)=a+b·(d^6)+l·d·((1-(d^12))/(1-d)).

Ostatecznie zysk producenta wynosi

P=z+p·(d^12)-(a+b·(d^6)+l·d·((1-(d^12))/(1-d))).

Jeżeli stopy procentowe zaczynają spadać do 0 to czynnik dyskontujący rośnie do 1 a zysk zbiega w granicy do postaci

(lim_(r->0))P=(lim_(r->0))(z+p·(d^12)-(a+b·(d^6)+l·d·((1-(d^12))/(1-d))))=z+p-a-b-12 l

a zatem prosty warunek jest postaci

z+p-a-b-12 l>0.

Zadanie 5

Zadanie

Firma otrzymała konktrakt na produkcję Y ilości pewnego dobra. Technologia firmy jest opisana funkcją produkcji f(K,L)=(K^(1/3))·(L^(2/3)). Stopa procentowa wynosi r a płace to w.

(a 6 pkt.) Jakie jest optymalny plan produkcji firmy?

Rozwiązanie

Zadanie optymalizacji firmy w takim układzie to minimalizacja kosztu realizacji zamówienia. Koszt firmy jest postaci

C=r K+w L.

Minimalizacja kosztu C jest dokonywana przy ograniczeniu wynikającym z realizacji kontraktu a więc ograniczeniu postaci

Y=(K^(1/3))·(L^(2/3)).

Zadanie rozwiązujemy standardowo tworząc funkcję Lagrange’a, która jest tutaj postaci

ℒ=r K+w L-λ ((K^(1/3))·(L^(2/3))-Y).

Warunki pierwszego rzędu są tutaj postaci

((∂ℒ)/(∂K))=r-((λ (L^(2/3)))/(3 (K^(2/3))))=0
((∂ℒ)/(∂L))=w-((2 λ (K^(1/3)))/(3 (L^(1/3))))=0
Y=(K^(1/3))·(L^(2/3))

Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy

(SuperStar[K])=Y·((((w/(2 r))))^(2/3))
(SuperStar[L])=Y·(((((2 r)/w)))^(1/3))

Ponieważ jest to minimalizacja funkcji liniowej na zbiorze wypukłym (należy wyprodukować co najmniej Y zamówionego dobra) jest to również minimum globalne.