Ekonomia matematyczna / Egzamin / Rozwiązania

2019-06-19 / Termin I

Zadanie 1

Zadanie

Dane jest równanie różniczkowe postaci

Derivative[3][x](t)+x''(t)+x'(t)+x(t)==0

(a 4 pkt.) Podaj rzeczywiste rozwiązanie ogólne. 
(b 2 pkt.) Jaka jest granica wyrażenia x(t)/(Sqrt[t]) dla t->+∞. Odpowiedź uzasadnić.

Rozwiązanie

Podane równanie jest równanie liniowym o stałych współczynnikach. W pierwszej kolejności obliczamy wielomian charakterystyczny otrzymujac

w(λ)=(λ^3)+(λ^2)+λ+1=(λ-i) (λ+i) (λ+1)

skąd otrzymuje trzy pierwiastki (Subscript[λ, 1])=-1, (Subscript[λ, 2])=i, (Subscript[λ, 3])-i. Zatem ogólne rozwiązanie rzeczywiste jest postaci

x(t)=(CTraditional[3]) (e^(-t))+(CTraditional[2]) sin(t)+(CTraditional[1]) cos(t).

Mamy następujące szacowania

|((x(t))/(Sqrt[t]))|=|(((CTraditional[3]) (e^(-t))+(CTraditional[2]) sin(t)+(CTraditional[1]) cos(t))/(Sqrt[t]))|≤|(((CTraditional[3]) (e^(-t)))/(Sqrt[t]))|+|(((CTraditional[2]) sin(t))/(Sqrt[t]))|+|(((CTraditional[1]) cos(t))/(Sqrt[t]))|≤|(((CTraditional[3]) (e^(-t)))/(Sqrt[t]))|+|((CTraditional[2])/(Sqrt[t]))|+|((CTraditional[1])/(Sqrt[t]))|->0

przy t->+∞.

Zadanie 2

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

(OverDot[x])=y-arctan(x)
(OverDot[y])=x-y+1

(a 2 pkt.) Wyznaczyć liczbę wszystkich równowag. Odpowiedź uzasadnić.

(b 4 pkt.) Zbadać stabilność wszystkich równowag. Odpowiedź uzasadnić

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczamy liczbę równowag. Mamy

0=y-arctan(x)
0=x-y+1

skąd

y=arctan(x)
y=x+1

i ostatecznie

x+1=arctan(x)
arctan(x)-x-1=0.

Niech g=arctan(x)-x-1. Dla x->-∞ wyrażenie to rośnie do +∞ a dla x->+∞ y wyrażenie to maleje do -∞ oraz jest ciągłe, skąd wiemy, że istnieje co najmniej jedna równowaga. Obliczając

((dg(x))/(dx))=(1/((x^2)+1))-1.

Powyższe wyrażenie jest równe 0 dla x=0 oraz ujemne dla pozostałych wartości x. Dodatkowo g(0)=-1 a zatem mamy dokładnie jedną równowag, w której (SuperStar[x])<0.

Aby sprawdzić stabilność równowagi, obliczamy lineraryzację podanego układu równań otrzymując

J(x,y)=(({{-(1/((x^2)+1)), 1}, {1, -1}})).

Dla powyższej macierzy mamy

det(J)=(1/((x^2)+1))-1
tr(J)=-(1/((x^2)+1))-1

Nie ulega wątpliwości, że dla x<0 mamy det(J)<0 skąd wiemy, że wartości własne macierzy są rzeczywiste i przeciwnych znaków. A zatem równowaga nie jest stabilna.

Zadanie 3

Zadanie

Rozważamy zachowanie monopolity na rynku zadanym przez odwrotną funkcję popytu postaci p(Q)=a-b·Q, gdzie a>0, b>0. Monopolista może produkować towar w jednej z dwóch fabryk, które różnią się kosztami. Wielkość (Subscript[q, 1]) produkuje w pierwszej fabryce z funkcją kosztów (Subscript[c, 1])((Subscript[q, 1]))=(Subscript[q, 1]), a wielkość (Subscript[q, 2]) produkuje w drugiej fabryce z funkcją kosztów (Subscript[c, 2])((Subscript[q, 2]))=(Subscript[q, 2]^2). Całość jego produkcji Q=(Subscript[q, 1])+(Subscript[q, 2]) jest sprzedawana w tej samej cenie.

(a 4 pkt.) Jakie są optymalne wielkości produkcji (Subscript[q, 1]), (Subscript[q, 2])? Odpowiedź uzasadnij.

(b 2 pkt.) Jaka jest najmniejsza wartość parametru a, dla którego rozwiązanie optymalne wynikające z optymalizacji bez ograniczeń ma sens ekonomiczny? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie

Firma rozwiązuje następujące zadanie maksymalizacji zysku

(max_((Subscript[q, 1]),(Subscript[q, 2]))) ((Subscript[q, 1])+(Subscript[q, 2])) (a-b ((Subscript[q, 1])+(Subscript[q, 2])))-((Subscript[q, 2])^2)-(Subscript[q, 1])

Warunki pierwszego rzędu są tutaj postaci

a-2 b ((Subscript[q, 1])+(Subscript[q, 2]))-1==0
a-2 b ((Subscript[q, 1])+(Subscript[q, 2]))-2 (Subscript[q, 2])==0

skąd rozwiązanie, które potencjalnie może być optymalne wynosi

(Subscript[q, 1])=((a-b-1)/(2 b))
(Subscript[q, 2])=(1/2)

Obliczając macierz drugiej pochodnej otrzymujemy

(d^2)π=(({{-2 b, -2 b}, {-2 b, -2 b-2}}))

gdzie wyznacznik wynosi det (d^2)π=4b>0 a więc, ponieważ b>0 jest to macierz określona ujemnie a więc znaleziony punkt jest rzeczywiście maksimum.

Aby znalezione rozwiązanie miało sens musi zachodzić (Subscript[q, 1]^( * ))>0 co szybko prowadzi do nierówności postaci a>b+1. Ponieważ b>0 więc dla każdego a>1 można dobrać takie b>0, dla którego rozwiązanie ma sens ekonomiczny.

Zadanie 4

Zadanie

Dany jest układ równań różniczkowych postaci

(OverDot[x])=-2 x-y+z
(OverDot[y])=-(x/2)-((5 y)/2)+(z/2),
(OverDot[z])=(x/2)-(y/2)-((3 z)/2)

(a 6 pkt.) Podać ogólne rozwiązanie rzeczywiste.

Rozwiązanie

Macierz współczynników dla powyższego układu wynosi

A=(({{-2, -1, 1}, {-(1/2), -(5/2), (1/2)}, {(1/2), -(1/2), -(3/2)}}))

Wielomian charakterystyczny wynosi

w(λ)=-(λ^3)-6 (λ^2)-11 λ-6=-(λ+1) (λ+2) (λ+3)

skąd mamy trzy rzeczywiste wartości własne (Subscript[λ, 1])=-3, (Subscript[λ, 2])=-2, (Subscript[λ, 3])=-1. Dla uzyskanych wartości wyznaczamy odpowiadające wektory własne. Dla wartości (Subscript[λ, 1])=-3 mamy

(({{1, -1, 1}, {-(1/2), (1/2), (1/2)}, {(1/2), -(1/2), (3/2)}}))∼(({{1, -1, 1}, {0, 0, 1}, {0, 0, 1}}))∼(({{1, -1, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}})).

Rozwiązanie ogólne jest zatem postaci

(Subscript[h, 1])=α·(({{1}, {1}, {0}})).

Jako wektor własny przyjmujemy wektor (1,1,0). Podobnie dla (Subscript[λ, 2])=-2 mamy obliczenia

(({{0, -1, 1}, {-(1/2), -(1/2), (1/2)}, {(1/2), -(1/2), (1/2)}}))∼(({{0, -1, 1}, {-(1/2), 0, 0}, {(1/2), 0, 0}}))∼(({{0, -1, 1}, {1, 0, 0}, {(1/2), 0, 0}}))∼(({{0, -1, 1}, {1, 0, 0}, {0, 0, 0}}))

a zatem rozwiązanie ogólne jest postaci

(Subscript[h, 2])=α·(({{0}, {1}, {1}}))

Jako wektor własny przyjmujemy wektor (0,1,1). Ostatecznie dla (Subscript[λ, 1])=-1 mamy

(({{-1, -1, 1}, {-(1/2), -(3/2), (1/2)}, {(1/2), -(1/2), -(1/2)}}))∼(({{-1, -1, 1}, {0, -1, 0}, {0, -1, 0}}))∼(({{-1, -1, 1}, {0, 1, 0}, {0, -1, 0}}))∼(({{-1, 0, 1}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}}))

a zatem rozwiązanie ogólne jest postaci

(Subscript[h, 3])=α·(({{1}, {0}, {1}}))

Jako wektor własny przyjmujemy wektor (1,0,1). Ostatecznie zatem rozwiązanie jest jpostaci

(({{x}, {y}, {z}}))=(Subscript[C, 1])·(e^(-3t))·(({{1}, {1}, {0}}))+(Subscript[C, 2])·(e^(-2t))·(({{0}, {1}, {1}}))+(Subscript[C, 3])·(e^(-t))·(({{1}, {0}, {1}})).

Zadanie 5

Zadanie

Konsument ma do dyspozyci bogactwo w wysokości w=20 a jego funkcja użyteczności jest postaci u(x,y)=(Sqrt[x y]). Cena dobra y wynosi (Subscript[p, y])=1. Cena dobra x zależy od tego ile tego dobra konsument kupi. Każda ilość poniżej (OverBar[x])=5 kosztuje (Subscript[p, <])=1 ale za każdą dodatkową jednostkę powyżej (OverBar[x]) konsument musi zapłacić dwa razy większą cenę.

(a 6 pkt.) Wyznacz optymalny koszyk konsumenta.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności warto narysować zbiór budżetowy. Dla x<(OverBar[x]) ograniczenie budżetowe jest zadane prostą x+y=w. Ograniczenie budżetowe dla x≥(OverBar[x]) jest zadane prostą o współczynniku nachylenia -2 i przechodzącą przez punkt (5,15). Znajdujemy tę prostą uzyskując rówanie 2x+y-25=0. Ograniczenie budżetowe ma więc postać jak poniżej.

Powyższy zbiór jest wypukły a funkcja użyteczności jest wklęsła (epigrafy są wypukłe) co gwarantuje, że optymalny koszyk, którego istnienie wynika z ciągłości funkcji i zwartości zbioru budżetowego, jest jeden. Powstaje więc pytanie, czy zachodzi (SuperStar[x])<(OverBar[x]) czy też jest odwrotnie. Gradient ograniczenia x+y=20 w punkcie (5,15) wynosi (1,1) a gradient funkcji użyteczności wynosi

grad u(5,15)=(((Sqrt[3])/2),(1/(2 (Sqrt[3]))))

oraz stosunek ∂u/∂x/∂u/∂y=3 co wskazuje, że w optymalnym koszyku musi być (SuperStar[x])>(OverBar[x]). W tym momencie zadanie staje się standardowym zadaniem na optymalizację z ograniczeniami w postaci równości. Funkcja Lagrange’a jest postaci

ℒ=(Sqrt[x y])-λ (2 x+y-25)

Warunki pierszego rzędu są postaci

(y/(2 (Sqrt[x y])))-2 λ==0
(x/(2 (Sqrt[x y])))-λ==0
2 x+y-25==0

Ostatecznie rozwiązanie jest postaci

λ==(1/(2 (Sqrt[2])))∧x==(25/4)∧y==(25/2)

i rzeczywiście optymalna ilość dobra x jest powyżej wartości granicznej. Standardowe rozumowanie (wklęsłość na wypukłym zbiorze) prowadzi do konkluzji, że powyższe rozwiązanie jest rzeczywiście maksimum. Poniższy wykres pokazuje zbiór budżetowy, naniesione krzywe obojętności oraz optymalny koszyk kupowany przez konsumenta.